数列の問題

第 $m$ 群の項数と和

第 $m$ 群の項数は $2m-1$ である。第 $1$ 群から第 $m$ 群までの項数の合計は
$$\sum _{j=1}^m(2j-1)=m^2$$
である。

第 $m$ 群の項の和は
$$(1+2+\cdots +m)+\{(m-1)+\cdots +1\}=\frac{m(m+1)}{2}+\frac{(m-1)m}{2}=m^2$$
である。よって、第 $1$ 群から第 $m$ 群までのすべての項の和を $T_m$ とすると
$$T_m=\sum _{j=1}^m{j}^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$$
となる。

$n$ がどの群に含まれるか

$$T_{17}=\frac{17\cdot 18\cdot 35}{6}=1785,T_{18}=1785+18^2=2109$$
であり、$T_{17}<2026\leqq T_{18}$ が成り立つ。$a_n>0$ より $S_n$ は $n$ について単調に増加するので、求める $n$ は第 $18$ 群に含まれる。

第 $17$ 群までの項数は $17^2=289$ である。第 $18$ 群の初めから $r$ 項目までの和が $2026-1785=241$ 以上となる最小の $r$ を求めればよい。

$r$ の決定

第 $18$ 群は $1,2,\dots ,18,17,16,\dots ,1$ である。

初めの $18$ 項の和は $\frac{18\cdot 19}{2}=171<241$ である。続く項 $17,16,15,14,13,\dots$ を順に加えると、累積和は次のようになる。

• $19$ 項目まで: $171+17=188$
• $20$ 項目まで: $188+16=204$
• $21$ 項目まで: $204+15=219$
• $22$ 項目まで: $219+14=233$
• $23$ 項目まで: $233+13=246$

$22$ 項目までの和 $233$ は $241$ 未満で、$23$ 項目までの和 $246$ は $241$ 以上である。よって $r=23$ となる。

結論

$$n=289+23=312$$

実際、$S_{311}=1785+233=2018<2026$、$S_{312}=1785+246=2031\geqq 2026$ である。

答え: $312$

第 $m$ 群の和は $(1+2+\cdots +m)+(1+2+\cdots +(m-1))=\frac{m(m+1)}{2}+\frac{(m-1)m}{2}=m^2$ である。第 $m$ 群までの項数は ${\sum }_{k=1}^m(2k-1)=m^2$、和は $\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ である。

$m=17$ のとき $\frac{17\cdot 18\cdot 35}{6}=1785$ で、これは $2026$ 未満。$m=18$ のとき $\frac{18\cdot 19\cdot 37}{6}=2109$ で、これは $2026$ 以上。よって求める $n$ は第 18 群の中にある。

第 17 群までの項数は $17^2=289$。第 18 群の途中までで必要な和は $2026-1785=241$ である。

第 18 群は $1,2,\dots ,18,17,16,\dots ,1$。最初の 18 項の和は $\frac{18\cdot 19}{2}=171$ で、$241$ 未満。その後 $j$ 項加えると和は $171+17+16+\cdots +(18-j)=171+\frac{j(35-j)}{2}$ となる。

$171+\frac{j(35-j)}{2}\ge 241$ より $j(35-j)\ge 140$。$j=4$ では $124$ で不足、$j=5$ では $150$ で成立する。よって $j=5$、すなわち第 18 群の第 23 項まで。

検算：第 18 群の第 22 項までで $S=1785+171+62=2018<2026$。第 23 項までで $S=2018+13=2031\ge 2026$。

したがって $n=289+23=312$。