数列の問題

第 $100$ 項の位置を調べる。

第 $n$ 群は $n$ 個の項からなるので、第 $1$ 群から第 $m$ 群までに含まれる項の個数は
$$1+2+\cdots +m=\frac{m(m+1)}{2}$$
である。$m=13$ のとき $\frac{13\cdot 14}{2}=91$、$m=14$ のとき $\frac{14\cdot 15}{2}=105$ である。よって $91<100\leqq 105$ より、第 $100$ 項は第 $14$ 群の $100-91=9$ 番目の項である。

第 $1$ 群から第 $13$ 群までの和を求める。

第 $n$ 群の項の和は
$$n+2n+\cdots +n\cdot n=n(1+2+\cdots +n)=\frac{n^2(n+1)}{2}=\frac{n^3+n^2}{2}$$
である。したがって第 $1$ 群から第 $13$ 群までの和は
$$\sum _{n=1}^{13}\frac{n^3+n^2}{2}=\frac{1}{2}\left(\sum _{n=1}^{13}{n}^3+\sum _{n=1}^{13}{n}^2\right)$$
となる。ここで
$$\sum _{n=1}^{13}{n}^3={\left(\frac{13\cdot 14}{2}\right)}^2=91^2=8281,\sum _{n=1}^{13}{n}^2=\frac{13\cdot 14\cdot 27}{6}=819$$
であるから、和は
$$\frac{8281+819}{2}=\frac{9100}{2}=4550$$
である。

第 $14$ 群の初めの $9$ 項の和を求める。

第 $14$ 群の項は $14,28,42,\dots$ なので、初めの $9$ 項の和は
$$14(1+2+\cdots +9)=14\cdot 45=630$$
である。

結論

求める和は
$$4550+630=5180$$
である。

第 $n$ 群は $n,2n,\dots ,n\cdot n$ の $n$ 項で、その和は $n(1+2+\cdots +n)=\frac{n^2(n+1)}{2}$ である。

第 1 群から第 13 群までの項数は $\frac{13\cdot 14}{2}=91$ である。第 14 群までだと $105$ 項になるので、第 100 項は第 14 群の $100-91=9$ 番目の項である。

第 1 群から第 13 群までの和は
$$\sum _{n=1}^{13}\frac{n^3+n^2}{2}=\frac{1}{2}\left\{{\left(\frac{13\cdot 14}{2}\right)}^2+\frac{13\cdot 14\cdot 27}{6}\right\}=\frac{1}{2}(8281+819)=4550.$$

第 14 群の最初の 9 項は $14,28,\dots ,14\cdot 9$ なので、その和は $14\cdot \frac{9\cdot 10}{2}=630$ である。

よって求める和は $4550+630=5180$ である。

検算として、第 1 群の和は $\frac{1\cdot 2}{2}=1$、第 2 群の和は $\frac{4\cdot 3}{2}=6=2+4$ となり、公式と実際の和が一致する。