群数列

数列を群に分けたとき、第 $n$ 群の最初の項が全体の第何項かを Σ で表し、ある数が第何群の何番目にあるかや、第 $n$ 群の項の和・第 $N$ 項までの和を求められる

前提

等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）

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算数中学高校大学大学院

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等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）

説明

規則的に並んだ数列を「1 個、2 個、3 個、…」のように区切ったものを群数列といい、区切られた各まとまりを群と呼びます。この技能を使うと、第 $n$ 群の最初の項がもとの数列の第何項かを $\sum$ で表せます。それをもとに、ある数が第何群の何番目にあるかを求められます。さらに、第 $n$ 群に含まれる項の和や、もとの数列の第 $N$ 項までの和も計算できます。

なぜそうしてよいのか

鍵になるのは「第 $n$ 群より前に、項がいくつ並んでいるか」です。第 $k$ 群の項数を $b_{k}$ とします。 $n ≧ 2$ のとき、第 1 群から第 $n - 1$ 群までに並ぶ項の個数は $k = 1 \sum n - 1 b_{k}$ です。第 $n$ 群の最初の項はそのすぐ次なので、もとの数列の第 $(k = 1 \sum n - 1 b_{k} + 1)$ 項になります。第 $n$ 群の最後の項は第 $k = 1 \sum n b_{k}$ 項です。群に分けても項の並び順は変わりません。そのため、「群の番号・群の中の位置」と「もとの数列の項番号 $m$ 」を行き来できます。 $n = 1$ のときは $\sum_{k = 1}^{0}$ となって式の意味がないので、得られた式に $n = 1$ を代入し、第 1 項になるかを別に確かめます。

和を求めるときは、まず第 $n$ 群の最初の項の「値」を出します。もとの数列の一般項を $a_{m}$ とすると、最初の項の値は $a_{m}$ の $m$ に最初の番号を代入したものです。第 $n$ 群は、もとの数列のうち連続した $b_{n}$ 個の項でできています。もとの数列が公差 $d$ の等差数列なら、第 $n$ 群も公差 $d$ ・項数 $b_{n}$ の等差数列です。等比数列なら、公比も同じになります。たとえば自然数の列 $1 ∣ 2, 3 ∣ 4, 5, 6 ∣ \dots$ （ $b_{k} = k$ , $a_{m} = m$ ）で考えます。第 $n$ 群の最初の項は $\frac{n ( n - 1 )}{2} + 1$ 、公差は $1$ 、項数は $n$ です。よって第 $n$ 群の和は次のようになります。 $\frac{n}{2} {2 (\frac{n ( n - 1 )}{2} + 1) + (n - 1) \cdot 1} = \frac{n}{2} (n^{2} + 1) = \frac{n ( n ^{2} + 1 )}{2}$

第 $N$ 項までの和は、第 $N$ 項が第 $p$ 群の $q$ 番目にあるとわかれば、「第 1 群〜第 $p - 1$ 群の和」と「第 $p$ 群の最初の $q$ 個の和」に分けて求められます。上の例で第 $100$ 項までの和を計算してみます。第 $100$ 項は第 $14$ 群の $9$ 番目です（ $91 < 100 ≦ 105$ による）。第 13 群までの和は、 $k = 1 \sum n k^{3} = {\frac{n ( n + 1 )}{2}}^{2}$ を使うと次のようになります。 $k = 1 \sum 13 \frac{k ^{3} + k}{2} = \frac{1}{2} {(\frac{13 \cdot 14}{2})^{2} + \frac{13 \cdot 14}{2}} = \frac{8281 + 91}{2} = 4186$ 第 14 群の最初の 9 個は $92, 93, \dots, 100$ で、その和は $\frac{9 ( 92 + 100 )}{2} = 864$ です。合計は $4186 + 864 = 5050$ です。これは $1 + 2 + \dots + 100 = 5050$ と一致するので、この分け方が正しいことが確かめられます。

手順

区切り方を確認し、第 $k$ 群の項数 $b_{k}$ を $k$ の式で表す（例: $b_{k} = k$ 、 $b_{k} = 2 k - 1$ ）。
第 $n$ 群の最後の項の番号 $k = 1 \sum n b_{k}$ を計算する。第 $n$ 群の最初の項の番号は、 $n ≧ 2$ のとき $k = 1 \sum n - 1 b_{k} + 1$ となる。この式に $n = 1$ を代入して $1$ になるかを確かめる。
もとの数列の一般項 $a_{m}$ を求める。最初の番号を $m$ に代入して、第 $n$ 群の最初の項の値を出す。あわせて、 $a_{m}$ から群の中での公差（または公比）を読み取る（例: $a_{m} = 2 m - 1$ なら公差 $2$ ）。
ある数（または第 $N$ 項）の位置を調べるときは、まずそれがもとの数列の第何項か（ $m$ ）を求める。次に $k = 1 \sum n - 1 b_{k} < m ≦ k = 1 \sum n b_{k}$ を満たす自然数 $n$ を見つける。群の中での位置は $m - k = 1 \sum n - 1 b_{k}$ 番目である。
第 $n$ 群の和は、「手順 3 の最初の項・公差（公比）・項数 $b_{n}$ 」の等差数列（等比数列）の和として公式で計算する。等差数列なら $\frac{b _{n}}{2} {2 \times (最初の項) + (b_{n} - 1) d}$ となる。
第 $N$ 項までの和は、手順 4 で第 $N$ 項を第 $p$ 群の $q$ 番目と特定してから求める。手順 5 の群の和を $k = 1$ から $p - 1$ まで $\sum$ で足し、それに第 $p$ 群の最初の $q$ 個の和を加える。

例題

正の奇数の列を、第 $k$ 群が $k$ 個の項を含むように次のように区切る。 $1 ∣ 3, 5 ∣ 7, 9, 11 ∣ 13, 15, 17, 19 ∣ \dots$ 　このとき、第 $n$ 群に含まれる項の和を $n$ の式で求めよ。

例題の解答

手順 1: 第 $k$ 群の項数は $b_{k} = k$ である。

手順 2: $n ≧ 2$ のとき、第 $n - 1$ 群までの項数は $k = 1 \sum n - 1 k = \frac{( n - 1 ) n}{2}$ である。よって第 $n$ 群の最初の項は、もとの数列の第 $(\frac{n ( n - 1 )}{2} + 1)$ 項である。 $n = 1$ を代入すると $1$ になるので、この式は $n = 1$ でも成り立つ。

手順 3: もとの数列の一般項は $a_{m} = 2 m - 1$ である。第 $n$ 群の最初の項の値は次のようになる。 $2 (\frac{n ( n - 1 )}{2} + 1) - 1 = n^{2} - n + 1$ （確認: $n = 3$ で $7$ となり、正しい。）また $a_{m}$ より、群の中でも公差は $2$ である。

手順 5: 第 $n$ 群は、初項 $n^{2} - n + 1$ 、公差 $2$ 、項数 $n$ の等差数列である。よってその和は $\frac{n}{2} {2 (n^{2} - n + 1) + (n - 1) \cdot 2} = \frac{n}{2} \cdot 2 n^{2} = n^{3}$ となる。

（確認: 第 2 群は $3 + 5 = 8 = 2^{3}$ 、第 3 群は $7 + 9 + 11 = 27 = 3^{3}$ で、一致する。）

答え: $n^{3}$

よくある誤り

第 $n$ 群の最初の項の番号を $k = 1 \sum n k + 1 = \frac{n ( n + 1 )}{2} + 1$ としてしまう誤り。これは第 $n + 1$ 群の最初の番号である。正しくは、前の群までの項数を使って $k = 1 \sum n - 1 k + 1 = \frac{n ( n - 1 )}{2} + 1$ とする。
項の番号と項の値を混同する誤り。たとえば奇数の列で、第 $n$ 群の最初の項の値を、番号のまま $\frac{n ( n - 1 )}{2} + 1$ としてしまう。正しくは、番号を一般項に代入して $a_{m} = 2 m - 1$ より $2 (\frac{n ( n - 1 )}{2} + 1) - 1 = n^{2} - n + 1$ とする。逆に、値 $99$ の位置を調べるときは $2 m - 1 = 99$ から第 $50$ 項とする。
群の和の項数を、群の番号 $n$ にしてしまう誤り。たとえば $1 ∣ 2, 3, 4 ∣ 5, \dots, 9 ∣ \dots$ （ $b_{k} = 2 k - 1$ ）で、第 $n$ 群を $n$ 項の和として計算してしまう。正しくは、項数は $b_{n} = 2 n - 1$ である。
第 $N$ 項までの和で、第 $N$ 項を含む群まで丸ごと足してしまう誤り。自然数の列（ $b_{k} = k$ ）の第 $100$ 項までの和を $k = 1 \sum 14 \frac{k ( k ^{2} + 1 )}{2} = 5565$ とするのは誤りである。正しくは、完全に含まれる第 13 群までの和 $k = 1 \sum 13 \frac{k ( k ^{2} + 1 )}{2} = 4186$ に、第 14 群の最初の 9 個の和 $864$ を加えて $5050$ とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

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