数列の問題

手順1：第 $10$ 群の最初の項が、もとの数列の第何項かを求める。

第 $k$ 群には $k$ 個の項がある。したがって、第 $1$ 群から第 $9$ 群までに含まれる項の個数は
$$\sum _{k=1}^{9}k=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 10=45$$
である。よって、第 $10$ 群の最初の項は、もとの数列の第 $46$ 項である。

また、第 $10$ 群には $10$ 個の項があるので、第 $10$ 群の最後の項はもとの数列の第 $45+10=55$ 項である。

手順2：もとの数列の一般項を使って、項の値を求める。

もとの数列は $3$ の正の倍数を小さい順に並べたものなので、第 $m$ 項は $3m$ である。

したがって
- 第 $10$ 群の最初の項は $3\cdot 46=138$
- 第 $10$ 群の最後の項は $3\cdot 55=165$

である。

手順3：第 $10$ 群の項の和を求める。

第 $10$ 群の項は、初項 $138$、末項 $165$、項数 $10$ の等差数列（公差 $3$）である。よって、その和は
$$\frac{1}{2}\cdot 10\cdot (138+165)=5\cdot 303=1515$$
である。

答え：$1515$

数列 $a_k=3k$ を、第 $n$ 群が $n$ 個の項を含むように分ける。第 $n$ 群までの項数は $\frac{n(n+1)}{2}$ である。
第 9 群までの項数は $\frac{9\cdot 10}{2}=45$ なので、第 10 群は第 46 項から第 55 項までの 10 個の項である。
これらの項は $3\cdot 46=138$ から $3\cdot 55=165$ までの等差数列で、公差は 3 である。
和は $\frac{10(138+165)}{2}=5\cdot 303=1515$ となる。
検算: $3(46+47+\cdots +55)=3\cdot \frac{10\cdot 101}{2}=3\cdot 505=1515$ となり、一致する。