数列の問題

方針 群数列では、まず「第 $10$ 群の最初の項が、もとの数列の第何項か」を求めます。

もとの数列は $3,6,9,12,\dots$ なので、第 $k$ 項は $3k$ です。

手順1：第 $10$ 群より前にある項の個数を数える

第 $k$ 群には $k$ 個の項があるので、第 $1$ 群から第 $9$ 群までの項の個数は
$$\sum _{k=1}^{9}k=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 10=45$$
です。

手順2：第 $10$ 群の最初の項を求める

第 $10$ 群の最初の項は、もとの数列の第 $45+1=46$ 項です。よって、その値は
$$3\times 46=138$$
です。

手順3：第 $10$ 群の項の和を求める

第 $10$ 群は、初項 $138$、公差 $3$、項数 $10$ の等差数列です。末項は
$$138+3\times (10-1)=165$$
です。これは、もとの数列の第 $55$ 項 $3\times 55=165$ とも一致します。

等差数列の和の公式より、求める和は
$$\frac{1}{2}\cdot 10\cdot (138+165)=5\times 303=1515$$
です。

数列の第 $k$ 項は $3k$ である。第 $9$ 群までの項数は $1+2+\cdots +9=45$ なので、第 $10$ 群は第 $46$ 項から第 $55$ 項までの $10$ 個の項である。したがって和は ${\sum }_{k=46}^{55}3k=3\cdot \frac{10(46+55)}{2}=3\cdot 505=1515$ となる。検算として、第 $10$ 群の初項は $3\cdot 46=138$、末項は $3\cdot 55=165$ で、等差数列の和は $\frac{10(138+165)}{2}=1515$ となり一致する。