数列の問題

群数列では、まず「各群の最初の項が、もとの数列の第何項か」を求める。

手順1：第19群までの項の個数を数える。
第 $k$ 群には $k$ 個の項がある。よって、第 $1$ 群から第 $19$ 群までに含まれる項の個数は
$$\sum _{k=1}^{19}k=\frac{1}{2}\cdot 19\cdot 20=190$$
である。

手順2：第20群の最初の項を求める。
第 $20$ 群の最初の項は、もとの数列の第 $190+1=191$ 項である。もとの数列は $1,2,3,\dots$ なので、第 $k$ 項は $k$ である。したがって、第 $20$ 群の最初の数は $191$ である。

手順3：第20群の和を求める。
第 $20$ 群には $20$ 個の項があり、$191$ から始まる連続する $20$ 個の整数である。よって、最後の数は $191+19=210$ である。

第 $20$ 群は、初項 $191$、末項 $210$、項数 $20$ の等差数列をなす。その和は
$$\frac{1}{2}\cdot 20\cdot (191+210)=10\cdot 401=4010$$
となる。

答えは $4010$ である。

第 $n$ 群の最後の数は $\frac{n(n+1)}{2}$ である。第 19 群の末項は $\frac{19\cdot 20}{2}=190$、第 20 群の末項は $\frac{20\cdot 21}{2}=210$。したがって第 20 群は 191 から 210 までの 20 個の連続する整数である。和は初項 191、末項 210、項数 20 の等差数列の和なので $\frac{20(191+210)}{2}=10\cdot 401=4010$。検算：第 $n$ 群の和は $n\cdot \frac{(n^2-n+2)/2+(n^2+n)/2}{2}=\frac{n(n^2+1)}{2}$ で、$n=20$ とすると $\frac{20\cdot 401}{2}=4010$ となり一致する。