数列の問題

第 $n$ 群の末項を求める

第 $1$ 群から第 $n$ 群までに含まれる項の個数は
$$\sum _{k=1}^n(2k-1)=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n=n^2$$
である。並べた正の偶数の第 $m$ 項は $2m$ なので、第 $n$ 群の末項は $2n^2$ である。

$2000$ を含む群を調べる

$2000$ は正の偶数の第 $1000$ 項である。$2000$ が第 $n$ 群に含まれる条件は
$$(n-1{)}^2<1000\le n^2$$
である。$31^2=961$、$32^2=1024$ より $961<1000\le 1024$ が成り立つので、$n=32$ である。よって $2000$ は第 $32$ 群に含まれる。

第 $32$ 群の和を求める

第 $32$ 群は、正の偶数の第 $962$ 項から第 $1024$ 項までである。
- 初項:$2\cdot 962=1924$
- 末項:$2\cdot 1024=2048$
- 項数:$2\cdot 32-1=63$

これは公差 $2$ の等差数列なので、和は
$$\frac{63(1924+2048)}{2}=\frac{63\cdot 3972}{2}=63\cdot 1986=125118$$

答えは $125118$ である。

第 $n$ 群までの項数の合計は $1+3+\cdots +(2n-1)=n^2$ である。$2000=2\times 1000$ なので、2000 は正の偶数の第 1000 項である。$31^2=961<1000\le 1024=32^2$ より、2000 は第 32 群に属する。

第 32 群は第 962 項から第 1024 項までの $63$ 個の項からなる。第 $k$ 項は $2k$ なので、初項は $2\cdot 962=1924$、末項は $2\cdot 1024=2048$ である。

等差数列の和の公式より、和は $\frac{63(1924+2048)}{2}=63\times 1986=125118$ となる。

検算：項数は $1024-962+1=63=2\cdot 32-1$ で、第 32 群の項数と一致する。また $1986\times 63=119160+5958=125118$ である。