数列の問題

各群の項数と和

第 $m$ 群の項は
$$\frac{1}{2^m},\frac{3}{2^m},\dots ,\frac{2^m-1}{2^m}$$
で、分子は $1$ から $2^m-1$ までの奇数なので、項数は $2^{m-1}$ である。

$1$ から始まる奇数を $j$ 個たすと $1+3+\cdots +(2j-1)=j^2$ であるから、第 $m$ 群の初めから $j$ 個の項の和は
$$\frac{j^2}{2^m}(1\leqq j\leqq 2^{m-1})$$
特に第 $m$ 群全体の和は $\frac{(2^{m-1}{)}^2}{2^m}=2^{m-2}$ である。

第 $m$ 群の終わりまでの項数と和

第 $1$ 群から第 $m$ 群までの項数は
$$1+2+\cdots +2^{m-1}=2^m-1$$
その和は
$$\sum _{k=1}^m{2}^{k-2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2^m-1}{2-1}=\frac{2^m-1}{2}$$

どの群で $1000$ を超えるか

すべての項は正なので $S_n$ は $n$ について増加する。

第 $10$ 群の終わりまでの和は $\frac{2^{10}-1}{2}=\frac{1023}{2}=511.5$、第 $11$ 群の終わりまでの和は $\frac{2^{11}-1}{2}=1023.5$ である。

$511.5<1000<1023.5$ なので、$S_n$ が初めて $1000$ を超えるのは第 $11$ 群の途中である。

第 $10$ 群の終わりまでの項数は $2^{10}-1=1023$ である。第 $11$ 群（分母 $2^{11}=2048$）の初めから $j$ 個目の項までの和を考えると、$n=1023+j$ $(1\leqq j\leqq 1024)$ に対して
$$S_n=\frac{1023}{2}+\frac{j^2}{2048}$$
$S_n>1000$ となる条件は
$$\frac{j^2}{2048}>1000-\frac{1023}{2}=\frac{977}{2}$$
すなわち
$$j^2>977\times 1024=1000448$$
$1000^2=1000000<1000448$、$1001^2=1002001>1000448$ であるから、これを満たす最小の $j$ は $j=1001$ である（$1001\leqq 1024$ なので第 $11$ 群の中にある）。

よって求める $n$ は
$$n=1023+1001=2024$$

第 $k$ 群の項は $\frac{1}{2^k},\frac{3}{2^k},\dots ,\frac{2^k-1}{2^k}$ で、$2^{k-1}$ 個の奇数 $1,3,\dots ,2^k-1$ の和は $(2^{k-1}{)}^2=4^{k-1}$。よって第 $k$ 群の和は $\frac{4^{k-1}}{2^k}=2^{k-2}$。

第 $m$ 群までの項数は $1+2+\cdots +2^{m-1}=2^m-1$、和は ${\sum }_{k=1}^m{2}^{k-2}=\frac{1}{2}(2^m-1)=\frac{2^m-1}{2}$。

$m=10$ のとき和は $\frac{1023}{2}=511.5<1000$、$m=11$ のとき和は $\frac{2047}{2}=1023.5>1000$。よって $S_n>1000$ となる最小の $n$ は第 $11$ 群の中にある（第 $10$ 群までで項数は $1023$）。

第 $11$ 群の最初の $j$ 項 $(1\le j\le 1024)$ の和は $\frac{1+3+\cdots +(2j-1)}{2^{11}}=\frac{j^2}{2048}$。したがって $S_{1023+j}=511.5+\frac{j^2}{2048}$。

$511.5+\frac{j^2}{2048}>1000⟺j^2>488.5\times 2048=1000448$。
$1000^2=1000000<1000448$、$1001^2=1002001>1000448$ なので最小の $j$ は $1001$（$1\le 1001\le 1024$ を満たす）。

$n=1023+1001=2024$。

検算: $S_{2023}=511.5+\frac{1000000}{2048}=511.5+488.28125=999.78125<1000$、$S_{2024}=511.5+\frac{1002001}{2048}\approx 511.5+489.258=1000.758>1000$。