数列の問題

分母が等しい項をひとまとまりにして群に分ける。
$$\frac{1}{2}|\frac{1}{3},\frac{2}{3}|\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4}|\frac{1}{5},\dots$$
第 $n$ 群は分母が $n+1$ で、分子が $1,2,\dots ,n$ の $n$ 個の項からなる。

第 $100$ 項の位置
第 $1$ 群から第 $m$ 群までの項数は
$$1+2+\cdots +m=\frac{m(m+1)}{2}$$
である。$m=13$ のとき $\frac{13\cdot 14}{2}=91$、$m=14$ のとき $\frac{14\cdot 15}{2}=105$ であるから、$91<100\leqq 105$ より、第 $100$ 項は第 $14$ 群の $100-91=9$ 番目の項である。

第 $n$ 群の和
$$\frac{1+2+\cdots +n}{n+1}=\frac{1}{n+1}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n}{2}$$

第 $1$ 群から第 $13$ 群までの和
$$\sum _{n=1}^{13}\frac{n}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{13\cdot 14}{2}=\frac{91}{2}$$

第 $14$ 群の初めの $9$ 項の和
第 $14$ 群の分母は $15$ であるから
$$\frac{1+2+\cdots +9}{15}=\frac{45}{15}=3$$

よって、求める和は
$$\frac{91}{2}+3=\frac{97}{2}$$

分母が $k$ の項は $k-1$ 個あり、その和は $\frac{1+2+\cdots +(k-1)}{k}=\frac{k-1}{2}$ である。

分母が $2$ から $m$ までの項数は ${\sum }_{k=2}^m(k-1)=\frac{m(m-1)}{2}$ である。$m=14$ のとき $91$ 項、$m=15$ のとき $105$ 項なので、第 $100$ 項は分母が $15$ の群の $100-91=9$ 番目、つまり $\frac{9}{15}$ である。

分母が $2$ から $14$ までの群の和は ${\sum }_{k=2}^{14}\frac{k-1}{2}=\frac{1+2+\cdots +13}{2}=\frac{91}{2}$。

分母が $15$ の群の最初の $9$ 項の和は $\frac{1+2+\cdots +9}{15}=\frac{45}{15}=3$。

よって求める和は $\frac{91}{2}+3=\frac{97}{2}$。

検算：$k=2,3$ の群の和は $\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$ で、公式 $\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$ と一致する。