数列の問題

一般項を求める

$n=1$ のとき
$$a_1=S_1=2\cdot 1^2+1=3$$
である。

$n\geqq 2$ のときは $a_n=S_n-S_{n-1}$ を使う。
$$a_n=(2n^2+n)-\{2(n-1{)}^2+(n-1)\}$$
$$=2n^2+n-(2n^2-4n+2+n-1)$$
$$=4n-1$$

この式に $n=1$ を代入すると $4\cdot 1-1=3$ となり、$a_1=3$ と一致する。よって、すべての正の整数 $n$ について $a_n=4n-1$ である。

部分分数に分解する

$a_k=4k-1$, $a_{k+1}=4k+3$ であり、差は $(4k+3)-(4k-1)=4$ である。したがって
$$\frac{1}{(4k-1)(4k+3)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k+3}\right)$$
と分解できる。

和を計算する

$$\sum _{k=1}^{20}\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}=\frac{1}{4}\left\{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{11}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{79}-\frac{1}{83}\right)\right\}$$

途中の項は打ち消し合い、最初の $\frac{1}{3}$ と最後の $-\frac{1}{83}$ だけが残る。$k=20$ のとき $4k+3=83$ である。よって
$$\sum _{k=1}^{20}\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{83}\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{83-3}{249}=\frac{1}{4}\cdot \frac{80}{249}=\frac{20}{249}$$

答えは $\frac{20}{249}$ である。

$a_1=S_1=3$。$n\ge 2$ のとき $a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-(2(n-1{)}^2+(n-1))=4n-1$。$n=1$ でも $4\cdot 1-1=3$ となり成り立つので、$a_n=4n-1$ $(n\ge 1)$。

$\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}=\frac{1}{(4k-1)(4k+3)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k+3}\right)$。

よって和は望遠鏡和になり、
${\sum }_{k=1}^{20}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{83}\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{80}{249}=\frac{20}{249}$。

検算：$k=1$ のとき $\frac{1}{3\cdot 7}=\frac{1}{21}$。公式で $n=1$ とすると $\frac{1}{4}(\frac{1}{3}-\frac{1}{7})=\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{21}=\frac{1}{21}$ で一致。一般に和は $\frac{1}{4}\cdot \frac{4n}{3(4n+3)}=\frac{n}{3(4n+3)}$ で、$n=20$ のとき $\frac{20}{3\cdot 83}=\frac{20}{249}$。