数列の問題

1. すべての項が正であること

$a_1=1>0$, $a_2=3>0$ である。$a_n>0$ かつ $a_{n+1}>0$ ならば $a_{n+2}=\frac{a_{n+1}^2+2}{a_n}>0$ である。よって数学的帰納法により、すべての $n$ で $a_n>0$ となる。したがって分母が $0$ になることはなく、数列はきちんと定まる。

2. 線形の漸化式を導く

漸化式の分母を払うと、すべての正の整数 $n$ について
$$a_{n+2}{a}_n-a_{n+1}^2=2(1)$$
が成り立つ。$(1)$ で $n$ を $n+1$ に置き換えると $a_{n+3}{a}_{n+1}-a_{n+2}^2=2$ である。これと $(1)$ の差をとると
$$a_{n+3}{a}_{n+1}-a_{n+2}^2=a_{n+2}{a}_n-a_{n+1}^2$$
となる。移項すると $a_{n+1}(a_{n+3}+a_{n+1})=a_{n+2}(a_{n+2}+a_n)$ であり、各項は正なので
$$\frac{a_{n+3}+a_{n+1}}{a_{n+2}}=\frac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}$$
が得られる。

$a_3=\frac{9+2}{1}=11$ より $\frac{a_3+a_1}{a_2}=\frac{12}{3}=4$ である。上の等式を用いれば、数学的帰納法により、すべての $n$ で $\frac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}=4$ が成り立つ。すなわち
$$a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n(2)$$
である。

3. 和を望遠鏡和にする

$(1)$ を用いると
$$\frac{a_{k+2}}{a_{k+1}}-\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{a_{k+2}{a}_k-a_{k+1}^2}{a_k{a}_{k+1}}=\frac{2}{a_k{a}_{k+1}}$$
となる。よって
$$S=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{10}\left(\frac{a_{k+2}}{a_{k+1}}-\frac{a_{k+1}}{a_k}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a_{12}}{a_{11}}-\frac{a_2}{a_1}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a_{12}}{a_{11}}-3\right)$$
である。さらに $(2)$ より $a_{12}-3a_{11}=a_{11}-a_{10}$ なので
$$S=\frac{a_{11}-a_{10}}{2a_{11}}$$
と書ける。

4. 項の値を計算する

$(2)$ を用いて順に計算すると次のようになる。
$a_1=1,a_2=3,a_3=11,a_4=41,a_5=153,a_6=571,a_7=2131,a_8=7953,$
$a_9=29681,a_{10}=110771,a_{11}=413403$

途中の計算は、例えば $a_{10}=4\cdot 29681-7953=110771$、$a_{11}=4\cdot 110771-29681=413403$ である。

よって
$$S=\frac{413403-110771}{2\cdot 413403}=\frac{302632}{826806}=\frac{151316}{413403}$$
となる。

これ以上約分できないことを確かめる。$(1)$ より $a_{12}{a}_{10}-a_{11}^2=2$ なので、$a_{11}$ と $a_{10}$ の公約数は $2$ の約数である。$a_{11}$ は奇数だから、$a_{11}$ と $a_{10}$ は互いに素である。したがって $a_{11}$ と $a_{11}-a_{10}$ も互いに素である。また $a_{11}$ は奇数なので、分子の $2$ で割った後も $a_{11}$ と共通の素因数はない。

答えは $\frac{151316}{413403}$ である。

$a_1=1,a_2=3$ より $a_3=11,a_4=41,a_5=153$ となる。漸化式から $a_{n+2}{a}_n-a_{n+1}^2=2$ が成り立つ（これは $n=1$ で $11\cdot 1-9=2$ と一致し、後の検算でも使える）。

この式より
$$\frac{a_{k+2}}{a_{k+1}}-\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{a_{k+2}{a}_k-a_{k+1}^2}{a_k{a}_{k+1}}=\frac{2}{a_k{a}_{k+1}}$$
よって $\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}=\frac{1}{2}\left(\frac{a_{k+2}}{a_{k+1}}-\frac{a_{k+1}}{a_k}\right)$。

$k=1$ から $10$ まで足すと、中間の項が打ち消し合って
$$S=\frac{1}{2}\left(\frac{a_{12}}{a_{11}}-\frac{a_2}{a_1}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a_{12}}{a_{11}}-3\right)$$

数列は $a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$ を満たす。これは $a_3,a_4,a_5$ で成り立つことを確認でき、$a_{n+2}{a}_n-a_{n+1}^2=2$ から一般に導ける。これで順に計算すると
$a_6=571,a_7=2131,a_8=7953,a_9=29681,a_{10}=110771,a_{11}=413403,a_{12}=1542841$。

ゆえに
$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{1542841-3\cdot 413403}{413403}=\frac{302632}{2\cdot 413403}=\frac{151316}{413403}$$
ユークリッドの互除法で $\gcd (151316,413403)=1$ なので、これ以上約分できない。

検算として、最初の3項は $\frac{1}{3}+\frac{1}{33}+\frac{1}{451}\approx 0.3658$。$\frac{151316}{413403}\approx 0.36602$ と整合する。