数列の問題

最初のいくつかの項を計算する。
$$a_2=\frac{3^2-1}{2}=\frac{8}{2}=4,a_3=\frac{4^2-1}{3}=\frac{15}{3}=5,a_4=\frac{5^2-1}{4}=\frac{24}{4}=6$$
これより $a_n=n+2$ と推測できる。

数学的帰納法で示す。

$(1)$ $n=1$ のとき、$a_1=3=1+2$ であるから成り立つ。

$(2)$ $n=k$ のとき $a_k=k+2$ が成り立つと仮定する。漸化式より
$$a_{k+1}=\frac{(k+2{)}^2-1}{k+1}=\frac{\{(k+2)-1\}\{(k+2)+1\}}{k+1}=\frac{(k+1)(k+3)}{k+1}=k+3=(k+1)+2$$
となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。

$(1)$, $(2)$ より、すべての正の整数 $n$ について $a_n=n+2$ である。

和を計算する。
$$\sum _{k=1}^{30}{a}_k=\sum _{k=1}^{30}(k+2)=\sum _{k=1}^{30}k+2\cdot 30=\frac{30\cdot 31}{2}+60=465+60=525$$

よって、求める和は $525$ である。

最初の数項を計算する。$a_1=3$、$a_2=\frac{9-1}{2}=4$、$a_3=\frac{16-1}{3}=5$、$a_4=\frac{25-1}{4}=6$。したがって $a_n=n+2$ と推測できる。\n\n数学的帰納法で示す。$n=1$ のとき $a_1=3=1+2$ で成り立つ。$a_n=n+2$ と仮定すると、\n$a_{n+1}=\frac{(n+2{)}^2-1}{n+1}=\frac{(n+1)(n+3)}{n+1}=n+3=(n+1)+2$\nとなり、$n+1$ でも成り立つ。よってすべての $n$ について $a_n=n+2$。\n\nゆえに\n${\sum }_{k=1}^{30}{a}_k={\sum }_{k=1}^{30}(k+2)=\frac{30\cdot 31}{2}+2\cdot 30=465+60=525$。\n\n検算：$a_1$ から $a_4$ の値は上の直接計算と一致している。また $a_k=k+2$ は初項 3、末項 32、項数 30 の等差数列なので、和は $\frac{30(3+32)}{2}=525$ となり一致する。