数列の問題

一般項 $a_n$ を求める。

$n=1$ のとき、$a_1=S_1=2\cdot 1^2+1=3$ である。

$n\ge 2$ のとき、
$$a_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2+n)-\{2(n-1{)}^2+(n-1)\}$$
$$=2n^2+n-(2n^2-4n+2+n-1)=4n-1$$
となる。$n=1$ を代入すると $4\cdot 1-1=3=a_1$ となるので、この式は $n=1$ のときも成り立つ。よって $a_n=4n-1$ $(n=1,2,3,\dots )$ である。

和を計算する。

$a_k=4k-1$, $a_{k+1}=4k+3$ であり、$(4k+3)-(4k-1)=4$ であるから、
$$\frac{1}{(4k-1)(4k+3)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k+3}\right)$$
と部分分数に分解できる。したがって
$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}=\frac{1}{4}\left\{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{11}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+3}\right)\right\}$$
途中の項は打ち消し合い、最初と最後の項だけが残るので
$$=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4n+3}\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{(4n+3)-3}{3(4n+3)}=\frac{1}{4}\cdot \frac{4n}{3(4n+3)}=\frac{n}{12n+9}$$

確認: $n=1$ のとき、左辺は $\frac{1}{3\cdot 7}=\frac{1}{21}$、右辺は $\frac{1}{21}$ で一致する。$n=2$ のとき、左辺は $\frac{1}{21}+\frac{1}{77}=\frac{11+3}{231}=\frac{2}{33}$、右辺は $\frac{2}{33}$ で一致する。

よって、求める和は $\frac{n}{12n+9}$ である。

$a_1=S_1=3$。$n\ge 2$ のとき $a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-2(n-1{)}^2-(n-1)=4n-1$。$n=1$ のとき $4\cdot 1-1=3$ となり $a_1$ と一致するので、すべての $n\ge 1$ で $a_n=4n-1$。

よって
$$\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}=\frac{1}{(4k-1)(4k+3)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k+3}\right)$$
和をとると項が打ち消し合い（4k+3=4(k+1)-1）、
$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4n+3}\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{4n}{3(4n+3)}=\frac{n}{3(4n+3)}$$

検算：$n=1$ のとき、$a_1=3,a_2=7$ なので $\frac{1}{21}$。公式では $\frac{1}{3\cdot 7}=\frac{1}{21}$ で一致する。