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数列の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 数列

数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が
$S_{n} = 3 n^{2} - 2 n (n = 1, 2, 3, \dots)$
で与えられている。 $n$ を正の整数とするとき、一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

和 $S_{n}$ から一般項を求める（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（11 技能）

算数中学高校大学大学院

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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

和 $S_{n}$ から一般項を求める技能を使います。 $a_{1} = S_{1}$ と、 $n ≧ 2$ のときの $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ を使いましょう。

ヒント 2

$S_{n - 1}$ は $S_{n}$ の式の $n$ を $n - 1$ に置きかえて $S_{n - 1} = 3 (n - 1)^{2} - 2 (n - 1)$ です。最後に、求めた式が $n = 1$ でも成り立つか確かめます。

ヒント 3

$a_{1} = S_{1} = 1$ です。また、 $S_{n - 1} = 3 n^{2} - 8 n + 5$ なので、 $n ≧ 2$ のとき $a_{n} = (3 n^{2} - 2 n) - (3 n^{2} - 8 n + 5)$ を計算します。

答えと解説

答えを見る

6 n - 5

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解説を読む

和 $S_{n}$ から一般項を求めるときは、次の 2 つの関係を使います。
$a_{1} = S_{1}, a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} (n ≧ 2)$

手順1：初項を求める

$n = 1$ とすると
$a_{1} = S_{1} = 3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 = 1$

手順2： $n ≧ 2$ のときの $a_{n}$ を求める

$S_{n - 1}$ は、 $S_{n}$ の式の $n$ を $n - 1$ に置きかえたものです。
$S_{n - 1} = 3 (n - 1)^{2} - 2 (n - 1) = 3 n^{2} - 6 n + 3 - 2 n + 2 = 3 n^{2} - 8 n + 5$
したがって、 $n ≧ 2$ のとき
$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (3 n^{2} - 2 n) - (3 n^{2} - 8 n + 5) = 6 n - 5$

手順3： $n = 1$ でも成り立つか確かめる

$a_{n} = 6 n - 5$ に $n = 1$ を代入すると $6 \cdot 1 - 5 = 1$ となり、手順1で求めた $a_{1} = 1$ と一致します。よって、この式は $n = 1$ のときも成り立ちます。

以上より、
$a_{n} = 6 n - 5$

別解

$a_{1} = S_{1} = 3 - 2 = 1$ 。 $n \geq 2$ のとき $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 3 n^{2} - 2 n - {3 (n - 1)^{2} - 2 (n - 1)} = 3 n^{2} - 2 n - (3 n^{2} - 6 n + 3 - 2 n + 2) = 6 n - 5$ 。 $n = 1$ のとき $6 \cdot 1 - 5 = 1$ で $a_{1}$ と一致するので、すべての正の整数 $n$ で $a_{n} = 6 n - 5$ 。検算： $S_{2} = 3 \cdot 4 - 4 = 8$ 、 $a_{1} + a_{2} = 1 + 7 = 8$ で一致。

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