数列の問題

手順1：特性方程式を解く

漸化式 $a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$ の $a_{n+2},a_{n+1},a_n$ をそれぞれ $x^2,x,1$ におきかえた 2 次方程式
$$x^2=5x-6$$
を考える。$x^2-5x+6=0$ より $(x-2)(x-3)=0$ なので、$x=2,3$ である。

手順2：2 通りに変形する

解と係数の関係から $2+3=5$、$2\cdot 3=6$ である。したがって、漸化式は次の 2 通りに変形できる。
$$a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_n)(1)$$
$$a_{n+2}-3a_{n+1}=2(a_{n+1}-3a_n)(2)$$
（展開すると、どちらも $a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$ に戻ることが確かめられる。）

手順3：それぞれ等比数列として解く

$(1)$ より、数列 $\{a_{n+1}-2a_n\}$ は初項 $a_2-2a_1=5-2=3$、公比 $3$ の等比数列である。よって
$$a_{n+1}-2a_n=3\cdot 3^{n-1}=3^n(3)$$

$(2)$ より、数列 $\{a_{n+1}-3a_n\}$ は初項 $a_2-3a_1=5-3=2$、公比 $2$ の等比数列である。よって
$$a_{n+1}-3a_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n(4)$$

手順4：$a_{n+1}$ を消去する

$(3)-(4)$ より $a_{n+1}$ が消えて
$$(-2a_n)-(-3a_n)=3^n-2^n$$
すなわち
$$a_n=3^n-2^n$$

確認

$a_1=3-2=1$、$a_2=9-4=5$ となり、条件に合う。さらに $a_3=5\cdot 5-6\cdot 1=19$ であり、$3^3-2^3=27-8=19$ とも一致する。

したがって、$a_n=3^n-2^n$ である。

特性方程式 $x^2=5x-6$ より $(x-2)(x-3)=0$ なので $x=2,3$。よって $a_n=A\cdot 2^n+B\cdot 3^n$ とおける。
$n=1$: $2A+3B=1$、$n=2$: $4A+9B=5$。
1つ目を2倍して $4A+6B=2$。これを2つ目から引くと $3B=3$ なので $B=1$。このとき $2A=1-3=-2$ より $A=-1$。
ゆえに $a_n=3^n-2^n$。
検算: $a_1=3-2=1$、$a_2=9-4=5$、$a_3=5\cdot 5-6\cdot 1=19$ で、$3^3-2^3=27-8=19$ となり一致する。