数列の問題

手順 1：2 次方程式を解く

漸化式 $a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$ の $a_{n+2},a_{n+1},a_n$ を $x^2,x,1$ におきかえた 2 次方程式
$$x^2=5x-6$$
を解く。$x^2-5x+6=0$ より $(x-2)(x-3)=0$ なので、$x=2,3$ である。

手順 2：漸化式を 2 通りに変形する

$\alpha =2,\beta =3$ とすると $\alpha +\beta =5,\alpha \beta =6$ なので、漸化式は $a_{n+2}-(\alpha +\beta )a_{n+1}+\alpha \beta a_n=0$ と書ける。これより次の 2 通りに変形できる。
$$a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_n)(1)$$
$$a_{n+2}-3a_{n+1}=2(a_{n+1}-3a_n)(2)$$
（実際に展開すると、どちらも $a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$ に戻る。）

手順 3：等比数列として表す

$(1)$ より、数列 $\{a_{n+1}-2a_n\}$ は初項 $a_2-2a_1=4-2=2$、公比 $3$ の等比数列である。よって
$$a_{n+1}-2a_n=2\cdot 3^{n-1}(3)$$

$(2)$ より、数列 $\{a_{n+1}-3a_n\}$ は初項 $a_2-3a_1=4-3=1$、公比 $2$ の等比数列である。よって
$$a_{n+1}-3a_n=2^{n-1}(4)$$

手順 4：$a_{n+1}$ を消去する

$(3)-(4)$ を計算すると、左辺は $(a_{n+1}-2a_n)-(a_{n+1}-3a_n)=a_n$ となるので
$$a_n=2\cdot 3^{n-1}-2^{n-1}$$

確認

$n=1$ のとき $2\cdot 1-1=1$、$n=2$ のとき $6-2=4$ で、$a_1,a_2$ と一致する。漸化式から $a_3=5\cdot 4-6\cdot 1=14$ であり、式からも $2\cdot 9-4=14$ となって一致する。

答え：$a_n=2\cdot 3^{n-1}-2^{n-1}$

特性方程式 $x^2=5x-6$ より $x=2,3$。よって $a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_n)$ と $a_{n+2}-3a_{n+1}=2(a_{n+1}-3a_n)$ が成り立つ。
$a_2-2a_1=2$ なので $a_{n+1}-2a_n=2\cdot 3^{n-1}$ ……①
$a_2-3a_1=1$ なので $a_{n+1}-3a_n=2^{n-1}$ ……②
①−② より $a_n=2\cdot 3^{n-1}-2^{n-1}$。
検算: $n=1$ で $2-1=1$、$n=2$ で $6-2=4$、$n=3$ で $18-4=14$。漸化式から $a_3=5\cdot 4-6\cdot 1=14$ で一致する。