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数列の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 数列

数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 5, a_{n + 1} = 4 a_{n} - 6 (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。

この問題で使うもの

$a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 型の漸化式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（14 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 型の漸化式です。特性方程式 $α = p α + q$ の解 $α$ を使って $a_{n + 1} - α = p (a_{n} - α)$ と変形し、等比数列に帰着させましょう。

ヒント 2

特性方程式は $α = 4 α - 6$ です。これを解くと $α = 2$ なので、漸化式は $a_{n + 1} - 2 = 4 (a_{n} - 2)$ と変形できます。

ヒント 3

数列 ${a_{n} - 2}$ は初項 $a_{1} - 2 = 3$ 、公比 $4$ の等比数列です。この数列の一般項を求めてから、 $a_{n}$ に戻しましょう。

答えと解説

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3 \cdot 4^{n - 1} + 2

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解説を読む

手順1：特性方程式を解く

漸化式 $a_{n + 1} = 4 a_{n} - 6$ の $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ をどちらも $α$ に置きかえた方程式（特性方程式）
$α = 4 α - 6$
を解きます。 $- 3 α = - 6$ より $α = 2$ です。

手順2：漸化式を変形する

漸化式 $a_{n + 1} = 4 a_{n} - 6$ から $2 = 4 \cdot 2 - 6$ を辺々引くと
$a_{n + 1} - 2 = 4 a_{n} - 8 = 4 (a_{n} - 2)$
となります。

手順3：等比数列に帰着する

$b_{n} = a_{n} - 2$ とおくと $b_{n + 1} = 4 b_{n}$ です。よって数列 ${b_{n}}$ は公比 $4$ の等比数列です。初項は
$b_{1} = a_{1} - 2 = 5 - 2 = 3$
なので、等比数列の一般項の公式から
$b_{n} = 3 \cdot 4^{n - 1}$
となります。

手順4： $a_{n}$ に戻す

$a_{n} = b_{n} + 2$ なので
$a_{n} = 3 \cdot 4^{n - 1} + 2$
です。

（確認） $n = 1$ のとき $3 \cdot 1 + 2 = 5$ です。また $a_{2} = 4 \cdot 5 - 6 = 14$ で、式からも $3 \cdot 4 + 2 = 14$ となり、一致します。

別解

特性方程式 $α = 4 α - 6$ より $α = 2$ 。漸化式の両辺から 2 を引くと $a_{n + 1} - 2 = 4 (a_{n} - 2)$ となる。よって数列 ${a_{n} - 2}$ は初項 $a_{1} - 2 = 3$ 、公比 4 の等比数列であり、 $a_{n} - 2 = 3 \cdot 4^{n - 1}$ 。したがって $a_{n} = 3 \cdot 4^{n - 1} + 2$ 。
検算： $n = 1$ のとき $3 + 2 = 5$ 。 $n = 2$ のとき $a_{2} = 4 \cdot 5 - 6 = 14$ 、式から $3 \cdot 4 + 2 = 14$ 。 $n = 3$ のとき $a_{3} = 4 \cdot 14 - 6 = 50$ 、式から $3 \cdot 16 + 2 = 50$ 。いずれも一致する。

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