数列の問題

方針：漸化式を変形して、階差数列を読み取ります。

漸化式は
$$a_{n+1}-a_n=4n-1$$
と書き直せます。よって、$\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$（$b_n=a_{n+1}-a_n$）は
$$b_n=4n-1$$
です。

階差数列の公式を使う：$n\geqq 2$ のとき
$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k=2+\sum _{k=1}^{n-1}(4k-1)$$
です。

Σ を計算します。${\sum }_{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{2}(n-1)n$、${\sum }_{k=1}^{n-1}1=n-1$ なので
$$\sum _{k=1}^{n-1}(4k-1)=4\cdot \frac{1}{2}(n-1)n-(n-1)=2n^2-2n-n+1=2n^2-3n+1$$
となります。よって、$n\geqq 2$ のとき
$$a_n=2+2n^2-3n+1=2n^2-3n+3$$
です。

$n=1$ のときを確かめる：公式は $n\geqq 2$ で導いたので、$n=1$ でも成り立つか確かめます。$2\cdot 1^2-3\cdot 1+3=2=a_1$ となり、成り立ちます。

（検算：$a_2=2+3=5$、$a_3=5+7=12$ で、式からも $2\cdot 4-6+3=5$、$2\cdot 9-9+3=12$ となり一致します。）

したがって
$$a_n=2n^2-3n+3$$

階差数列 $b_n=a_{n+1}-a_n=4n-1$ である。$n\ge 2$ のとき
$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}(4k-1)=2+4\cdot \frac{(n-1)n}{2}-(n-1)=2+2n^2-2n-n+1=2n^2-3n+3.$$
$n=1$ のとき $2-3+3=2=a_1$ なので、$n=1$ でも成り立つ。
検算：$a_2=a_1+4\cdot 1-1=5$、公式では $8-6+3=5$。$a_3=5+8-1=12$、公式では $18-9+3=12$。一致する。
よって $a_n=2n^2-3n+3$。