数列の問題

方針 $a_{n+1}=2a_n+3^n$ は、$3^n$ の項があるため、このままでは $a_{n+1}=p{a}_n+q$ 型として解けません。そこで両辺を $2^{n+1}$ で割り、$b_n=\frac{a_n}{2^n}$ と置き換えて、階差型の漸化式に直します。

手順1：両辺を $2^{n+1}$ で割る
$$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{2a_n}{2^{n+1}}+\frac{3^n}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2}{\left(\frac{3}{2}\right)}^n$$

手順2：置き換える
$b_n=\frac{a_n}{2^n}$ とおくと
$$b_{n+1}=b_n+\frac{1}{2}{\left(\frac{3}{2}\right)}^n,b_1=\frac{a_1}{2}=\frac{1}{2}$$
となり、数列 $\{b_n\}$ の階差数列は $\frac{1}{2}{\left(\frac{3}{2}\right)}^n$ です。

手順3：階差型の漸化式を解く
$n\geqq 2$ のとき
$$b_n=b_1+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{2}{\left(\frac{3}{2}\right)}^k$$
ここで $\sum _{k=1}^{n-1}{\left(\frac{3}{2}\right)}^k$ は初項 $\frac{3}{2}$、公比 $\frac{3}{2}$、項数 $n-1$ の等比数列の和なので
$$\sum _{k=1}^{n-1}{\left(\frac{3}{2}\right)}^k=\frac{\frac{3}{2}\left\{{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}-1\right\}}{\frac{3}{2}-1}=3\left\{{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}-1\right\}$$
よって
$$b_n=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\left\{{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}-1\right\}=\frac{1}{2}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^n-\frac{3}{2}={\left(\frac{3}{2}\right)}^n-1$$
$n=1$ のとき ${\left(\frac{3}{2}\right)}^1-1=\frac{1}{2}=b_1$ なので、この式は $n=1$ でも成り立ちます。

手順4：もとに戻す
$a_n=2^n{b}_n$ より
$$a_n=2^n\left\{{\left(\frac{3}{2}\right)}^n-1\right\}=3^n-2^n$$

（確認：$a_1=3-2=1$、$a_2=2\cdot 1+3=5=9-4$ で一致します。）

答え：$a_n=3^n-2^n$

漸化式 $a_{n+1}=2a_n+3^n$ の両辺を $3^{n+1}$ で割る。
$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{a_n}{3^n}+\frac{1}{3}$
$b_n=\frac{a_n}{3^n}$ とおくと $b_{n+1}=\frac{2}{3}{b}_n+\frac{1}{3}$、$b_1=\frac{1}{3}$。
特性方程式 $\alpha =\frac{2}{3}\alpha +\frac{1}{3}$ より $\alpha =1$。
$b_{n+1}-1=\frac{2}{3}(b_n-1)$ で、$b_1-1=-\frac{2}{3}$ なので $b_n-1=-\frac{2}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}=-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$。
よって $b_n=1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$、$a_n=3^n{b}_n=3^n-2^n$。
検算：$a_1=3-2=1$。$a_2=2\cdot 1+3=5$、公式では $9-4=5$。$a_3=2\cdot 5+9=19$、公式では $27-8=19$。一致する。
別解：$a_{n+1}-3^{n+1}=2(a_n-3^n)$ となり、$a_1-3=-2$ から $a_n-3^n=-2^n$。同じ結果。