数列の問題

手順1：階差数列を読み取る

漸化式を変形すると
$$a_{n+1}-a_n=4n-1$$
となります。よって、$\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$（$b_n=a_{n+1}-a_n$）は $b_n=4n-1$ です。

手順2：階差数列の公式を使う

$n\geqq 2$ のとき
$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k=4+\sum _{k=1}^{n-1}(4k-1)$$
が成り立ちます。

手順3：Σ を計算する

$$\sum _{k=1}^{n-1}(4k-1)=4\sum _{k=1}^{n-1}k-\sum _{k=1}^{n-1}1=4\cdot \frac{(n-1)n}{2}-(n-1)$$
$$=2n(n-1)-(n-1)=(n-1)(2n-1)=2n^2-3n+1$$
したがって、$n\geqq 2$ のとき
$$a_n=4+2n^2-3n+1=2n^2-3n+5$$
となります。

手順4：$n=1$ のときを確かめる

手順2の式は $n\geqq 2$ でしか使えないので、$n=1$ のときを別に確かめます。$2\cdot 1^2-3\cdot 1+5=4$ となり、$a_1=4$ と一致します。

よって、すべての正の整数 $n$ について
$$a_n=2n^2-3n+5$$
です。

（確認：$a_2=a_1+3=7$、$a_3=a_2+7=14$ です。式からも $a_2=8-6+5=7$、$a_3=18-9+5=14$ となり、一致します。）

階差数列 $b_n=a_{n+1}-a_n=4n-1$ より、$n\ge 2$ のとき
$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}(4k-1)=4+4\cdot \frac{(n-1)n}{2}-(n-1)=4+2n^2-2n-n+1=2n^2-3n+5.$$
$n=1$ のとき $2-3+5=4$ となり $a_1=4$ と一致するので、$n=1$ でも成り立つ。
検算：$a_2=a_1+4\cdot 1-1=7$、式に $n=2$ を代入すると $8-6+5=7$ で一致。$a_3=7+8-1=14$、式に $n=3$ を代入すると $18-9+5=14$ で一致。