数列の問題

手順1：一般項を差の形に分ける

分母の2つの因数 $3k-1$ と $3k+2$ の差は $(3k+2)-(3k-1)=3$ である。そこで $\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}$ を計算すると
$$\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}=\frac{(3k+2)-(3k-1)}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{3}{(3k-1)(3k+2)}$$
となる。両辺を $3$ で割って
$$\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}\right)$$

手順2：和を書き並べて打ち消し合いを見る

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{1}{3}\left\{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{8}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right)\right\}$$
各かっこの後ろの項が次のかっこの前の項と打ち消し合うので、最初の $\frac{1}{2}$ と最後の $-\frac{1}{3n+2}$ だけが残る。

手順3：残った項を計算する

$$\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{(3n+2)-2}{2(3n+2)}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3n}{2(3n+2)}=\frac{n}{2(3n+2)}$$

（確認：$n=1$ のとき、もとの和は $\frac{1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}$、求めた式は $\frac{1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}$ で一致する。）

よって、求める和は $\frac{n}{2(3n+2)}$ である。

部分分数分解を用いる。$\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}\right)$（右辺を通分すると $\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{(3k-1)(3k+2)}$ となり一致）。

よって和は
$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right)$$
（途中の項は $3k+2=3(k+1)-1$ より隣どうしで打ち消し合う）。

$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{3n+2-2}{2(3n+2)}=\frac{n}{2(3n+2)}$$

検算：$n=1$ のとき左辺は $\frac{1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}$、右辺は $\frac{1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}$ で一致。$n=2$ のとき左辺は $\frac{1}{10}+\frac{1}{5\cdot 8}=\frac{4}{40}+\frac{1}{40}=\frac{1}{8}$、右辺は $\frac{2}{2\cdot 8}=\frac{1}{8}$ で一致。