数列の問題

各項は、等差数列 $k$ と等比数列 $2^k$（公比 $2$）の積になっている。そこで、$S_n$ から公比 $2$ を掛けた $2S_n$ を引く。

$$S_n=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots +n\cdot 2^n$$

両辺に $2$ を掛け、$2$ の指数が同じ項が上下にそろうように 1 つ右にずらして書くと

$$2S_n=1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots +(n-1)\cdot 2^n+n\cdot 2^{n+1}$$

上の式から下の式を引く。$2^2$ から $2^n$ までの項は、係数の差がどれも $1$ になるので

$$S_n-2S_n=2+2^2+2^3+\cdots +2^n-n\cdot 2^{n+1}$$

右辺の $2+2^2+\cdots +2^n$ は初項 $2$、公比 $2$、項数 $n$ の等比数列の和であるから

$$2+2^2+\cdots +2^n=\frac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2$$

よって

$$-S_n=2^{n+1}-2-n\cdot 2^{n+1}=(1-n)\cdot 2^{n+1}-2$$

両辺に $-1$ を掛けて

$$S_n=(n-1)\cdot 2^{n+1}+2$$

（確かめ）$n=1$ のとき $0\cdot 4+2=2=1\cdot 2$、$n=2$ のとき $1\cdot 8+2=10=2+8$ となり、正しい。

答え: $S_n=(n-1)\cdot 2^{n+1}+2$

$S_n={\sum }_{k=1}^{n}k\cdot 2^k$ とおく。両辺に 2 をかけると $2S_n={\sum }_{k=1}^{n}k\cdot 2^{k+1}=1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots +n\cdot 2^{n+1}$。

$S_n-2S_n$ を計算する。
$-S_n=2+2^2+2^3+\cdots +2^n-n\cdot 2^{n+1}$

等比数列の和より $2+2^2+\cdots +2^n=2(2^n-1)=2^{n+1}-2$。

よって $-S_n=2^{n+1}-2-n\cdot 2^{n+1}$ となり、$S_n=(n-1)2^{n+1}+2$。

検算：$n=1$ のとき $0+2=2$ で、$S_1=2$ と一致する。$n=2$ のとき $1\cdot 8+2=10$ で、$S_2=2+8=10$ と一致する。$n=3$ のとき $2\cdot 16+2=34$ で、$S_3=10+24=34$ と一致する。