数列の問題

方針 各項を「差の形」に分けて足すと、途中の項が打ち消し合います。

1. 部分分数に分ける

分母の 2 つの因数の差は $(3k+2)-(3k-1)=3$ です。そこで
$$\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}=\frac{(3k+2)-(3k-1)}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{3}{(3k-1)(3k+2)}$$
となります。両辺を $3$ で割ると
$$\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}\right)$$

2. 和を書き並べて打ち消し合いを見る

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{1}{3}\left\{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{8}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right)\right\}$$
$-\frac{1}{5}$ と $+\frac{1}{5}$、$-\frac{1}{8}$ と $+\frac{1}{8}$、… のように、隣り合うかっこの間で項が打ち消し合います。残るのは最初の $\frac{1}{2}$ と最後の $-\frac{1}{3n+2}$ だけです。

3. 計算する

$$\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{(3n+2)-2}{2(3n+2)}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3n}{2(3n+2)}=\frac{n}{2(3n+2)}$$

確認 $n=1$ のとき、もとの和は $\frac{1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}$、求めた式は $\frac{1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}$ で一致します。

よって、答えは $\frac{n}{2(3n+2)}$ です。

部分分数分解より $\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}\right)$。確認：$\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}=\frac{3}{(3k-1)(3k+2)}$ なので正しい。

和は $\frac{1}{3}{\sum }_{k=1}^n\left(\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}\right)$。ここで $3(k+1)-1=3k+2$ なので、隣り合う項が打ち消し合い（望遠鏡和）、
$\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3n+2-2}{2(3n+2)}=\frac{n}{2(3n+2)}$。

検算：$n=1$ のとき、左辺は $\frac{1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}$、右辺は $\frac{1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}$ で一致。$n=2$ のとき、左辺は $\frac{1}{10}+\frac{1}{5\cdot 8}=\frac{1}{10}+\frac{1}{40}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$、右辺は $\frac{2}{2\cdot 8}=\frac{1}{8}$ で一致。