数列の問題

Σ の性質と、$\sum k$, $\sum k^2$ の公式を使って計算する。

手順1：Σ を分ける。 Σ は和や定数倍に分けられるから
$$\sum _{k=1}^n\left(3k^2-k\right)=3\sum _{k=1}^n{k}^2-\sum _{k=1}^{n}k$$

手順2：公式を当てはめる。
$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1),\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$
を代入すると
$$3\cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}n(n+1)=\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}n(n+1)$$

手順3：共通因数でくくって整理する。 $\frac{1}{2}n(n+1)$ でくくると
$$\frac{1}{2}n(n+1)\{(2n+1)-1\}=\frac{1}{2}n(n+1)\cdot 2n=n^2(n+1)$$

確かめ： $n=2$ のとき、もとの和は $(3\cdot 1-1)+(3\cdot 4-2)=2+10=12$ であり、$n^2(n+1)=4\cdot 3=12$ となって一致する。

よって答えは $n^2(n+1)$ である。

${\sum }_{k=1}^{n}3k^2=3\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$、${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$。よって和は $\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1-1)}{2}=\frac{n(n+1)\cdot 2n}{2}=n^2(n+1)$。検算：$n=1$ のとき和は $3-1=2$、式は $1\cdot 2=2$。$n=2$ のとき和は $2+10=12$、式は $4\cdot 3=12$。一致する。