数列の問題

Σ の性質を使って、和を $\sum k^2$ と $\sum k$ に分けて計算します。

手順 1：Σ を分ける

Σ は項ごとに分けることができ、定数倍は Σ の外に出せます。
$$\sum _{k=1}^n\left(6k^2+2k\right)=6\sum _{k=1}^n{k}^2+2\sum _{k=1}^{n}k$$

手順 2：公式を使う

次の公式を使います。
$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1),\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$
これらを代入すると、
$$6\cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+2\cdot \frac{1}{2}n(n+1)=n(n+1)(2n+1)+n(n+1)$$

手順 3：共通因数でくくって整理する

共通因数 $n(n+1)$ でくくります。
$$n(n+1)\{(2n+1)+1\}=n(n+1)(2n+2)=2n(n+1{)}^2$$

確かめ

• $n=1$ のとき：もとの和は $6+2=8$、式の値は $2\cdot 1\cdot 2^2=8$
• $n=2$ のとき：もとの和は $8+(24+4)=36$、式の値は $2\cdot 2\cdot 3^2=36$

どちらも一致します。

したがって、求める和は $2n(n+1{)}^2$ です。

$\sum k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$ を用いる。

${\sum }_{k=1}^n(6k^2+2k)=6\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\cdot \frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)(2n+1)+n(n+1)=n(n+1)(2n+2)=2n(n+1{)}^2$。

検算：$n=1$ のとき左辺は $6+2=8$、右辺は $2\cdot 1\cdot 4=8$。$n=2$ のとき左辺は $8+(24+4)=36$、右辺は $2\cdot 2\cdot 9=36$。一致する。