数列の問題

使う公式

$\Sigma$ の性質と、次の和の公式を使います。
$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1),\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

ステップ1：$\Sigma$ を項ごとに分ける

$\Sigma$ は項ごとに分けることができ、定数倍は $\Sigma$ の外に出せます。
$$\sum _{k=1}^n(3k^2-k)=3\sum _{k=1}^n{k}^2-\sum _{k=1}^{n}k$$

ステップ2：公式を代入する

$$3\sum _{k=1}^n{k}^2-\sum _{k=1}^{n}k=3\cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}n(n+1)$$
$$=\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}n(n+1)$$

ステップ3：共通因数でくくって整理する

共通因数 $\frac{1}{2}n(n+1)$ でくくると、
$$\frac{1}{2}n(n+1)\{(2n+1)-1\}=\frac{1}{2}n(n+1)\cdot 2n=n^2(n+1)$$

確かめ

$n=2$ のとき、もとの和は $(3\cdot 1^2-1)+(3\cdot 2^2-2)=2+10=12$ です。一方、$n^2(n+1)=4\cdot 3=12$ となり、一致します。

したがって、答えは $n^2(n+1)$ です。

${\sum }_{k=1}^{n}3k^2=3\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$、${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$。よって和は $\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1-1)}{2}=\frac{n(n+1)\cdot 2n}{2}=n^2(n+1)$。検算：$n=1$ のとき $3-1=2$、式は $1\cdot 2=2$。$n=2$ のとき $2+10=12$、式は $4\cdot 3=12$。一致する。