数列の問題

各項は、等差数列 $k$ と等比数列 $2^{k-1}$（公比 $2$）の積になっています。このような和は、公比 $2$ を掛けた $2S_n$ をつくり、$S_n-2S_n$ を計算すると求められます。

手順1：$S_n$ と $2S_n$ を書き並べる

$$S_n=1\cdot 1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+\cdots +n\cdot 2^{n-1}$$
両辺に公比 $2$ を掛けて、$2$ の指数がそろうように $1$ 項ずらして書きます。
$$2S_n=1\cdot 2+2\cdot 2^2+\cdots +(n-1)\cdot 2^{n-1}+n\cdot 2^n$$

手順2：辺々を引く

上の式から下の式を引くと、$2^{k-1}$ の項どうしで係数の差がちょうど $1$ になります。
$$S_n-2S_n=1+2+2^2+\cdots +2^{n-1}-n\cdot 2^n$$

手順3：等比数列の和を計算する

$1+2+2^2+\cdots +2^{n-1}$ は初項 $1$、公比 $2$、項数 $n$ の等比数列の和なので
$$1+2+2^2+\cdots +2^{n-1}=\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1$$
よって
$$-S_n=2^n-1-n\cdot 2^n=(1-n)\cdot 2^n-1$$

手順4：$S_n$ を求める

両辺に $-1$ を掛けて
$$S_n=(n-1)\cdot 2^n+1$$

（確認：$n=1$ のとき $S_1=1$、式は $0\cdot 2+1=1$。$n=2$ のとき $S_2=1+4=5$、式は $1\cdot 4+1=5$ で一致します。）

答え：$S_n=(n-1)\cdot 2^n+1$

$S_n={\sum }_{k=1}^{n}k\cdot 2^{k-1}$ とおく。両辺に 2 を掛けると $2S_n={\sum }_{k=1}^{n}k\cdot 2^k$。

$S_n-2S_n$ を計算する。$S_n=1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+\cdots +n\cdot 2^{n-1}$、$2S_n=1\cdot 2+2\cdot 2^2+\cdots +(n-1)\cdot 2^{n-1}+n\cdot 2^n$ なので、
$-S_n=1+2+2^2+\cdots +2^{n-1}-n\cdot 2^n=(2^n-1)-n\cdot 2^n$。

よって $S_n=(n-1)\cdot 2^n+1$。

検算: $n=1$ のとき $0\cdot 2+1=1$ で、和は 1 と一致する。$n=2$ のとき $1\cdot 4+1=5$ で、$1+4=5$ と一致する。$n=3$ のとき $2\cdot 8+1=17$ で、$1+4+12=17$ と一致する。