数列の問題

和の順序を入れかえる。

$i<j$ のとき、$j-i$ は $i\leqq k\leqq j-1$ を満たす整数 $k$ の個数に等しい。よって
$$S=\sum _{1\leqq i<j\leqq n}(j-i)\cdot 2^i=\sum _{1\leqq i\leqq k<j\leqq n}{2}^i$$
と、$i\leqq k<j$ を満たす整数の組 $(i,k,j)$ についての和に書きかえられる。$k$ を固定すると ($1\leqq k\leqq n-1$)、$i$ は $1$ から $k$ まで、$j$ は $k+1$ から $n$ までの $n-k$ 通りを独立に動くから
$$S=\sum _{k=1}^{n-1}\left(\sum _{i=1}^k{2}^i\right)(n-k)$$
ここで $\sum _{i=1}^k{2}^i=\frac{2(2^k-1)}{2-1}=2^{k+1}-2$ なので
$$S=\sum _{k=1}^{n-1}(n-k)2^{k+1}-2\sum _{k=1}^{n-1}(n-k)$$

後ろの和
$$\sum _{k=1}^{n-1}(n-k)=(n-1)+(n-2)+\cdots +1=\frac{n(n-1)}{2}$$
より、$2\sum _{k=1}^{n-1}(n-k)=n(n-1)$。

前の和 $A=\sum _{k=1}^{n-1}(n-k)2^{k+1}$ を求める。
$$A=(n-1)\cdot 2^2+(n-2)\cdot 2^3+\cdots +2\cdot 2^{n-1}+1\cdot 2^n$$
$$2A=(n-1)\cdot 2^3+\cdots +3\cdot 2^{n-1}+2\cdot 2^n+1\cdot 2^{n+1}$$
下の式から上の式を引くと、$2^3$ から $2^{n+1}$ までの各項の係数は $1$ ずつになるので
$$A=-(n-1)\cdot 2^2+\left(2^3+2^4+\cdots +2^{n+1}\right)$$
$$=-4(n-1)+\frac{2^3(2^{n-1}-1)}{2-1}=-4n+4+2^{n+2}-8=2^{n+2}-4n-4$$

まとめ
$$S=A-n(n-1)=2^{n+2}-4n-4-n^2+n=2^{n+2}-n^2-3n-4$$

（確認: $n=2$ のとき $S=(2-1)\cdot 2^1=2$、式は $16-4-6-4=2$。$n=3$ のとき $S=1\cdot 2+2\cdot 2+1\cdot 4=10$、式は $32-9-9-4=10$。）

答え: $S=2^{n+2}-n^2-3n-4$

内側の和を $T_j={\sum }_{i=1}^{j-1}(j-i)2^i$ とおく。$T_j={\sum }_{k=1}^{j-1}{\sum }_{i=1}^k{2}^i$ と見る（$j-i$ は $i\le k\le j-1$ となる $k$ の個数）と、${\sum }_{i=1}^k{2}^i=2^{k+1}-2$ なので
$T_j={\sum }_{k=1}^{j-1}(2^{k+1}-2)=(2^{j+1}-4)-2(j-1)=2^{j+1}-2j-2$。

確認: $j=2$ で $T_2=1\cdot 2=2$、公式は $8-4-2=2$。$j=3$ で $T_3=2\cdot 2+1\cdot 4=8$、公式は $16-6-2=8$。

$S={\sum }_{j=2}^n(2^{j+1}-2j-2)$。
${\sum }_{j=2}^n{2}^{j+1}=2^3+\cdots +2^{n+1}=2^{n+2}-8$、
${\sum }_{j=2}^{n}2j=n(n+1)-2$、
${\sum }_{j=2}^{n}2=2(n-1)$。

よって $S=2^{n+2}-8-(n^2+n-2)-2(n-1)=2^{n+2}-n^2-3n-4$。

検算: $n=2$ で $S=2$、公式は $16-4-6-4=2$。$n=3$ で $S=T_2+T_3=2+8=10$、公式は $32-9-9-4=10$。