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数列の問題

難易度 3共通テストレベル数学B 数列

等差数列 ${a_{n}}$ は $a_{3} = 7$ , $a_{7} = 19$ を満たす。また、等比数列 ${b_{n}}$ は公比が正の実数であり、 $b_{1} = 2$ , $b_{2} + b_{3} = 12$ を満たす。 $n$ を正の整数とするとき、和
$k = 1 \sum n a_{k} b_{k}$
を $n$ の式で表せ。

この問題で使うもの

等差数列・等比数列の一般項（説明と入口の問題）
2次方程式の解の公式と判別式（説明と入口の問題）
（等差）×（等比）の数列の和（説明と入口の問題）
等差・等比数列の和と Σ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（30 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず ${a_{n}}$ と ${b_{n}}$ の一般項を求めましょう。 ${a_{n}}$ は初項と公差、 ${b_{n}}$ は公比の条件 $r > 0$ に注意して決めます。

ヒント 2

$a_{n} = 3 n - 2$ , $b_{n} = 2^{n}$ となります。(等差)×(等比) 型の和 $S$ は、 $S - 2 S$ （公比 $2$ 倍したものを引く）を計算すると等比数列の和に帰着できます。

ヒント 3

$S - 2 S = 2 + 3 (2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n}) - (3 n - 2) \cdot 2^{n + 1}$ となります。括弧内は初項 $4$ 、公比 $2$ 、項数 $n - 1$ の等比数列の和です。

答えと解説

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(3 n - 5) \cdot 2^{n + 1} + 10

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解説を読む

${a_{n}}$ の一般項

初項を $a$ 、公差を $d$ とすると $a + 2 d = 7$ , $a + 6 d = 19$ である。辺々引いて $4 d = 12$ より $d = 3$ 、よって $a = 1$ となる。したがって
$a_{n} = 1 + 3 (n - 1) = 3 n - 2$

${b_{n}}$ の一般項

公比を $r (r > 0)$ とすると $b_{2} + b_{3} = 2 r + 2 r^{2} = 12$ より $r^{2} + r - 6 = 0$ 、すなわち $(r + 3) (r - 2) = 0$ である。 $r > 0$ より $r = 2$ となる。したがって
$b_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}$

和の計算

$S = k = 1 \sum n (3 k - 2) 2^{k}$ とおく。
$S = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 2^{2} + 7 \cdot 2^{3} + \dots + (3 n - 2) \cdot 2^{n}$
$2 S = 1 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2^{3} + \dots + (3 n - 5) \cdot 2^{n} + (3 n - 2) \cdot 2^{n + 1}$
辺々引くと
$S - 2 S = 2 + 3 (2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n}) - (3 n - 2) \cdot 2^{n + 1}$
ここで、初項 $2^{2}$ 、公比 $2$ 、項数 $n - 1$ の等比数列の和は
$2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n} = \frac{4 ( 2 ^{n - 1} - 1 )}{2 - 1} = 2^{n + 1} - 4$
である（ $n = 1$ のときも両辺 $0$ で成り立つ）。よって
$- S = 2 + 3 \cdot 2^{n + 1} - 12 - (3 n - 2) \cdot 2^{n + 1} = (5 - 3 n) \cdot 2^{n + 1} - 10$
したがって
$S = (3 n - 5) \cdot 2^{n + 1} + 10$

検算

$n = 1$ のとき： $(- 2) \cdot 4 + 10 = 2$ 。実際の和は $a_{1} b_{1} = 1 \cdot 2 = 2$ で一致する。
$n = 2$ のとき： $1 \cdot 8 + 10 = 18$ 。実際の和は $2 + 4 \cdot 4 = 18$ で一致する。

別解

等差数列の公差を $d$ とすると $a_{7} - a_{3} = 4 d = 12$ より $d = 3$ 。 $a_{1} = a_{3} - 2 d = 1$ なので $a_{n} = 3 n - 2$ 。
等比数列の公比を $r > 0$ とすると $b_{2} + b_{3} = 2 r + 2 r^{2} = 12$ より $r^{2} + r - 6 = 0$ 、 $(r + 3) (r - 2) = 0$ 。 $r > 0$ より $r = 2$ 。よって $b_{n} = 2^{n}$ 。
求める和を $S = \sum_{k = 1}^{n} (3 k - 2) 2^{k}$ とする。
$\sum_{k = 1}^{n} k 2^{k} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2$ 、 $\sum_{k = 1}^{n} 2^{k} = 2^{n + 1} - 2$ を用いる。( $T = \sum k 2^{k}$ とすると $T - 2 T = \sum_{k = 1}^{n} 2^{k} - n 2^{n + 1}$ より $T = (n - 1) 2^{n + 1} + 2$ 。)
すると $S = 3 {(n - 1) 2^{n + 1} + 2} - 2 (2^{n + 1} - 2) = (3 n - 5) 2^{n + 1} + 10$ 。
検算: $n = 1$ のとき $(- 2) \cdot 4 + 10 = 2 = a_{1} b_{1}$ 。 $n = 2$ のとき $1 \cdot 8 + 10 = 18$ 、一方 $2 + 4 \cdot 4 = 18$ 。一致する。

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