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数列の問題

難易度 5最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル数学B 数列

等差数列 ${a_{n}}$ は $a_{3} = 12$ , $a_{6} = 27$ を満たす。また、公比が実数である等比数列 ${b_{n}}$ は $b_{2} = 9$ , $b_{5} = 243$ を満たす。数列 ${a_{n}}$ の項であり、かつ数列 ${b_{n}}$ の項でもある数を小さい順に並べて、数列 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \dots$ をつくる。 $n$ を正の整数とするとき、和 $k = 1 \sum n k c_{k}$ を $n$ の式で表せ。

この問題で使うもの

等差数列・等比数列の一般項（説明と入口の問題）
2 つの数列の共通項（説明と入口の問題）
（等差）×（等比）の数列の和（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず ${a_{n}}$ と ${b_{n}}$ の一般項を求め、 ${a_{n}}$ の項がどのような整数の集まりかを「 $5$ で割った余り」で言い換えてみよう。

ヒント 2

$b_{n} = 3^{n}$ を $5$ で割った余りは周期 $4$ で $3, 4, 2, 1$ を繰り返す。余りが $2$ になる指数 $j$ を調べると、共通項 $c_{k}$ が等比数列になる。

ヒント 3

$c_{k} = 27 \cdot 8 1^{k - 1}$ となる。 $T = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 8 1^{k - 1}$ とおき、 $T - 81 T$ を計算すると等比数列の和に帰着できる。

答えと解説

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\frac{27 { ( 80 n - 1 ) \cdot 8 1 ^{n} + 1 }}{6400}

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解説を読む

一般項を求める。

${a_{n}}$ の公差を $d$ とする。 $a_{6} - a_{3} = 3 d = 27 - 12 = 15$ より $d = 5$ である。よって $a_{1} = a_{3} - 2 d = 2$ となり、
$a_{n} = 5 n - 3 (n = 1, 2, 3, \dots)$
である。 ${a_{n}}$ の項は $2, 7, 12, 17, \dots$ であり、これは「 $2$ 以上の整数で、 $5$ で割った余りが $2$ であるもの」全体と一致する。

${b_{n}}$ の公比を $r$ （実数）とする。 $b_{5} = b_{2} r^{3}$ より $r^{3} = \frac{243}{9} = 27$ で、 $r$ は実数なので $r = 3$ である。 $b_{1} = \frac{9}{3} = 3$ より
$b_{n} = 3^{n}$
である。

共通項を求める。

$3^{j}$ $(j = 1, 2, 3, \dots)$ を $5$ で割った余りは、 $j = 1, 2, 3, 4$ のとき順に $3, 4, 2, 1$ である。 $3^{4} = 81 \equiv 1 (mod 5)$ なので、余りはこの $4$ つを周期的に繰り返す。

また $3^{j} ≧ 3 > 2$ であるから、 $3^{j}$ が ${a_{n}}$ の項になるのは $3^{j} \equiv 2 (mod 5)$ のとき、すなわち $j \equiv 3 (mod 4)$ のときに限る。 $j = 3, 7, 11, \dots$ のそれぞれに対して $3^{j}$ は確かに ${a_{n}}$ の項になる。

したがって、小さい順に並べると
$c_{k} = 3^{4 k - 1} = 27 \cdot 8 1^{k - 1}$
である。（ $c_{1} = 27 = a_{6}$ で確かめられる。）

和を計算する。

$k = 1 \sum n k c_{k} = 27 T, T = k = 1 \sum n k \cdot 8 1^{k - 1}$
とおく。
$T = 1 + 2 \cdot 81 + 3 \cdot 8 1^{2} + \dots + n \cdot 8 1^{n - 1}$
$81 T = 1 \cdot 81 + 2 \cdot 8 1^{2} + \dots + (n - 1) \cdot 8 1^{n - 1} + n \cdot 8 1^{n}$
辺々引くと
$- 80 T = 1 + 81 + 8 1^{2} + \dots + 8 1^{n - 1} - n \cdot 8 1^{n} = \frac{8 1 ^{n} - 1}{80} - n \cdot 8 1^{n}$
となる。両辺に $- 80$ を掛けた形に整理すると
$6400 T = 80 n \cdot 8 1^{n} - 8 1^{n} + 1 = (80 n - 1) \cdot 8 1^{n} + 1$
である。よって
$k = 1 \sum n k c_{k} = \frac{27 {( 80 n - 1 ) \cdot 8 1 ^{n} + 1 }}{6400}$

検算
- $n = 1$ のとき、 $\frac{27 ( 79 \cdot 81 + 1 )}{6400} = \frac{27 \cdot 6400}{6400} = 27 = c_{1}$ で一致する。
- $n = 2$ のとき、 $\frac{27 ( 159 \cdot 6561 + 1 )}{6400} = 27 \cdot 163 = 4401$ となる。一方 $c_{1} + 2 c_{2} = 27 + 2 \cdot 2187 = 4401$ で一致する。

別解

等差数列は公差 $d = (27 - 12) /3 = 5$ 、 $a_{3} = 12$ より $a_{1} = 2$ なので $a_{n} = 5 n - 3$ である。つまり ${a_{n}}$ の項は、5 で割った余りが 2 の 2 以上の整数である。

等比数列は $r^{3} = b_{5} / b_{2} = 27$ で、 $r$ は実数だから $r = 3$ 。 $b_{1} = 9/3 = 3$ より $b_{n} = 3^{n}$ ( $n \geq 1$ ) である。

$3^{m} \equiv 2 (mod 5)$ となる $m$ を調べる。 $3^{1} \equiv 3, 3^{2} \equiv 4, 3^{3} \equiv 2, 3^{4} \equiv 1$ で、周期は 4 である。よって $m \equiv 3 (mod 4)$ のときだけ余りが 2 になる。このとき $3^{m} \geq 27 \geq 2$ なので、 ${a_{n}}$ の項でもある。

したがって $c_{k} = 3^{4 k - 1} = 27 \cdot 8 1^{k - 1}$ である。

和は $x = 81$ として
$k = 1 \sum n k c_{k} = \frac{27}{81} k = 1 \sum n k x^{k} = \frac{1}{3} \cdot \frac{x { 1 - ( n + 1 ) x ^{n} + n x ^{n + 1} }}{( 1 - x ) ^{2}} = \frac{27 { 1 + ( 80 n - 1 ) 8 1 ^{n} }}{6400} .$

検算： $n = 1$ のとき $27 (1 + 79 \cdot 81) /6400 = 27$ で、 $c_{1} = 27$ と一致する。 $n = 2$ のとき $27 (1 + 159 \cdot 6561) /6400 = 27 \cdot 163 = 4401$ で、 $27 + 2 \cdot 2187 = 4401$ と一致する。

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