2 つの数列の共通項

$a_{k} = 5 k + 3$ と $b_{k} = 2^{k}$ のような 2 つの数列について、合同式や余りの周期を使って共通な項の条件（例: $k \equiv 3 (mod 4)$ ）を求め、共通項を並べた数列 ${c_{n}}$ の一般項を求められる

前提

等差数列・等比数列の一般項（数学B 数列）
累乗の余りの周期（数学A 整数の性質）

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算数中学高校大学大学院

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最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
累乗の余りの周期（数学A 整数の性質）

説明

2 つの数列に共通して現れる数（共通項）を小さい順に並べた数列 ${c_{n}}$ の一般項を求める技能です。たとえば $a_{m} = 5 m + 3$ と $b_{k} = 2^{k}$ の共通項は $8, 128, 2048, \dots$ となります。一方が等差数列のとき、「その等差数列の項である」という条件は合同式で書けます。そこで、もう一方の数列の余りの周期を調べれば、共通項になる番号 $k$ の条件がわかります。

なぜそうしてよいのか

$a_{m} = 5 m + 3 (m = 1, 2, 3, \dots)$ の項になる整数 $x$ は、 $x = 5 m + 3$ と書ける数です。言いかえると「 $x \equiv 3 (mod 5)$ であり、しかも $m = \frac{x - 3}{5} ≧ 1$ 、つまり $x ≧ 8$ 」を満たす数です。したがって $b_{k} = 2^{k}$ が共通項になるかどうかは、 $2^{k}$ を $5$ で割った余りが $3$ かどうかと、大きさの条件だけで決まります。

$2^{k}$ を $5$ で割った余りは、 $k = 1, 2, 3, 4, \dots$ に対して $2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1, \dots$ と周期 $4$ でくり返します。余りが $3$ になるのは $k \equiv 3 (mod 4)$ 、つまり $k = 3, 7, 11, \dots$ のときだけです。最初の $k = 3$ では $2^{3} = 8 = 5 \cdot 1 + 3$ となり、 $m = 1$ なので大きさの条件も満たします。 $2^{k}$ は $k$ が大きくなるほど大きくなるので、 $k$ を小さい順に並べれば共通項も小さい順に並びます。

条件を満たす $k$ は初項 $3$ 、公差 $4$ の等差数列なので $k = 4 n - 1$ と表せます。これを $b_{k}$ に代入すると $c_{n} = 2^{4 n - 1} = 8 \cdot 1 6^{n - 1}$ が得られます。共通項の数列は、もとの等比数列から周期ごとに 1 つずつ項を抜き出したものなので、公比 $2^{4} = 16$ の等比数列になります。

手順

2 つの数列の番号を別の文字にする（例: $a_{m} = p m + q$ , $b_{k}$ ）。共通項 $x$ が ${a_{m}}$ の項である条件を「 $x \equiv q (mod p)$ かつ $x ≧ p + q$ （ $m ≧ 1$ に対応）」と書き直す
$b_{k}$ を $p$ で割った余りを $k = 1, 2, 3, \dots$ と順に計算し、余りがくり返す周期 $T$ を見つける
1 周期の中で余りが $q$ になる $k$ を探し、共通項になる番号の条件を $k \equiv r (mod T)$ の形で求める
条件を満たす最初のいくつかの $k$ について $b_{k} ≧ p + q$ （ $m ≧ 1$ ）を確かめ、範囲から外れる $k$ を除く
残った $k$ を小さい順に並べて等差数列として $k = T n + (定数)$ と表し、 $b_{k}$ に代入して $c_{n}$ を求める

例題

数列 ${a_{m}}$ を $a_{m} = 3 m + 2 (m = 1, 2, 3, \dots)$ 、数列 ${b_{k}}$ を $b_{k} = 2^{k} (k = 1, 2, 3, \dots)$ とする。2 つの数列に共通な項を小さい順に並べた数列を ${c_{n}}$ とするとき、一般項 $c_{n}$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】番号は $m$ と $k$ で別々にとってある。 $x$ が ${a_{m}}$ の項であるための条件は、 $x \equiv 2 (mod 3)$ かつ $x ≧ 3 \cdot 1 + 2 = 5$ である。
【手順 2】 $2^{k}$ を $3$ で割った余りは、 $k = 1, 2, 3, 4, \dots$ に対して $2, 1, 2, 1, \dots$ となる。 $2 \equiv - 1 (mod 3)$ より $2^{k} \equiv (- 1)^{k} (mod 3)$ なので、周期は $2$ である。
【手順 3】余りが $2$ になるのは $k$ が奇数のとき、すなわち $k \equiv 1 (mod 2)$ のときである。
【手順 4】 $k = 1$ のとき $2^{1} = 2 < 5$ である。 $2 = 3 m + 2$ とすると $m = 0$ となり、 $m ≧ 1$ を満たさないので除く。 $k = 3$ のとき $2^{3} = 8 = 3 \cdot 2 + 2$ で $m = 2$ となり、条件を満たす。 $2^{k}$ は $k$ について増加するので、 $k ≧ 3$ の奇数はすべて $2^{k} ≧ 8$ を満たす。
【手順 5】条件を満たす $k$ は $3, 5, 7, \dots$ で、初項 $3$ 、公差 $2$ の等差数列だから $k = 2 n + 1$ と表せる。よって $c_{n} = b_{2 n + 1} = 2^{2 n + 1}$ （ $= 8 \cdot 4^{n - 1}$ ）である。実際に $c_{1} = 8$ , $c_{2} = 32 = 3 \cdot 10 + 2$ となり、確かに共通項になっている。

答え: $2^{2 n + 1}$

よくある誤り

2 つの数列に同じ番号の文字を使い、 $5 k + 3 = 2^{k}$ を満たす $k$ を探してしまう誤り。共通項は番号がそろっている必要はない。正しくは $5 m + 3 = 2^{k}$ と別の文字にし、 $2^{k} \equiv 3 (mod 5)$ を満たす $k$ を求める
余りの条件だけを見て、番号の範囲 $m ≧ 1$ を確かめ忘れる誤り。例題で $k = 1$ の $2$ を含めると $c_{n} = 2^{2 n - 1}$ になってしまう。しかし $2 = 3 m + 2$ では $m = 0$ となり、 $2$ は ${a_{m}}$ の項ではない。正しくは $c_{n} = 2^{2 n + 1}$
$k \equiv 3 (mod 4)$ を $k = 4 n + 3$ と書いて $n = 1$ から代入し、最初の共通項を落とす誤り。 $k = 4 n + 3$ だと $n = 1$ のとき $k = 7$ になり、 $k = 3$ の $8$ が抜けて $c_{n} = 2^{4 n + 3}$ となる。正しくは $n = 1$ で $k = 3$ となるように $k = 4 n - 1$ とおき、 $c_{n} = 2^{4 n - 1}$
余りの周期を確かめずに、最初の数項だけで条件を決めてしまう誤り。たとえば $2^{k} (mod 5)$ を $k = 1, 2$ だけ見て「余りが $3$ になる $k$ はない」としてはいけない。正しくは余りが最初の値に戻るまで（ $2, 4, 3, 1$ の周期 $4$ まで）計算する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

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