数列の問題

方針 $\{a_k\}$ の項は「$7$ で割ると $2$ 余る正の整数」のうち $2$ 以上のものである。そこで、$b_k=2^k$ を $7$ で割った余りを調べ、余りが $2$ になる $k$ の条件を求める。

手順 1：$\{a_k\}$ の項の特徴

$a_k=7k-5=7(k-1)+2$ なので、$\{a_k\}$ の項は $2,9,16,23,\dots$ であり、$7$ で割った余りが $2$ である $2$ 以上の整数がすべて現れる。つまり、ある正の整数 $N$ が $\{a_k\}$ の項であるための条件は
$$N\equiv 2(\mathrm{mod}7),N\geqq 2$$
である。$b_k=2^k\geqq 2$ は常に成り立つので、$2^k\equiv 2(\mathrm{mod}7)$ となる $k$ を求めればよい。

手順 2：$2^k$ を $7$ で割った余りの周期

$$2^1=2\equiv 2,2^2=4\equiv 4,2^3=8\equiv 1(\mathrm{mod}7)$$
$2^3\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ なので、以後は $2^{k+3}=2^k\cdot 2^3\equiv 2^k(\mathrm{mod}7)$ となり、余りは $2,4,1$ を周期 $3$ でくり返す。

よって $2^k\equiv 2(\mathrm{mod}7)$ となるのは、$k\equiv 1(\mathrm{mod}3)$、すなわち
$$k=1,4,7,\dots ,3n-2(n=1,2,3,\dots )$$
のときである。

手順 3：確認

$k=1$：$2^1=2=a_1$、$k=4$：$2^4=16=a_3$、$k=7$：$2^7=128=7\cdot 19-5=a_{19}$。確かに共通項になっている。

手順 4：$c_n$ を求める

$2^k$ は $k$ が大きいほど大きいので、共通項を小さい順に並べると $2^1,2^4,2^7,\dots$ となる。$n$ 番目は $k=3n-2$ のときだから
$$c_n=2^{3n-2}$$
（これは初項 $2$、公比 $8$ の等比数列である。）

$a_k=7k-5$ の項は、7 で割った余りが 2 であり、かつ 2 以上の整数である。つまり $2^m$（$m\ge 1$）のうち、7 で割った余りが 2 になるものを探せばよい。

$2^m$ を 7 で割った余りは $m=1,2,3,4,\dots$ の順に $2,4,1,2,4,1,\dots$ となり、周期 3 で繰り返す。よって余りが 2 になるのは $m\equiv 1(\mathrm{mod}3)$、すなわち $m=3n-2$ $(n=1,2,\dots )$ のときである。

このとき $2^m\ge 2$ なので、$k=(2^m+5)/7$ は 1 以上の整数になる。したがって $2^m$ は $\{a_k\}$ の項である。

逆に $\{a_k\}$ の項であり $\{b_k\}$ の項でもある数は、上の条件を満たす $2^m$ に限られる。

確認：$2=7\cdot 1-5$、$16=7\cdot 3-5$、$128=7\cdot 19-5$ はいずれも成り立つ。

よって $c_n=2^{3n-2}$ である。