数列の問題

方針 数列 $\{a_k\}$ の項は $9,14,19,\dots$ であり、$5$ で割ると $4$ 余る $9$ 以上の整数がすべて現れる。したがって、$b_k=3^k$ のうち「$5$ で割った余りが $4$ であるもの」を調べればよい。

手順 1：$3^k$ を $5$ で割った余りの周期を調べる

$5$ を法として計算すると
$$3^1\equiv 3,3^2=9\equiv 4,3^3\equiv 4\cdot 3=12\equiv 2,3^4\equiv 2\cdot 3=6\equiv 1(\mathrm{mod}5)$$
となる。$3^4\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ であるから、$3^{k+4}=3^k\cdot 3^4\equiv 3^k(\mathrm{mod}5)$ が成り立つ。よって、余りは $3,4,2,1$ を周期 $4$ でくり返す。

手順 2：共通な項になる条件を求める

$3^k\equiv 4(\mathrm{mod}5)$ となるのは、$k\equiv 2(\mathrm{mod}4)$、すなわち $k=2,6,10,\dots$ のときに限られる。

このとき $3^k\geqq 3^2=9$ である。$3^k=5m+4$ とおくと $m=\frac{3^k-4}{5}\geqq \frac{9-4}{5}=1$ となり、$m$ は正の整数である。よって $3^k$ は確かに $\{a_k\}$ の項 $a_m$ になっている。

逆に $k\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ でない $k$ では、$3^k$ を $5$ で割った余りが $4$ にならないので、$3^k$ は $\{a_k\}$ の項ではない。

手順 3：共通項を並べて一般項を求める

共通な項は小さい順に
$$3^2,3^6,3^{10},\dots$$
となる。これは $9,729,59049,\dots$ であり、たとえば $9=5\cdot 1+4$、$729=5\cdot 145+4$ と確かめられる。

指数 $2,6,10,\dots$ は初項 $2$、公差 $4$ の等差数列なので、第 $n$ 項の指数は $2+(n-1)\cdot 4=4n-2$ である。したがって
$$c_n=3^{4n-2}$$
となる。これは、初項 $9$、公比 $3^4=81$ の等比数列 $c_n=9\cdot 81^{n-1}$ と同じものである。

数列 $\{a_k\}$ の項は、5 で割った余りが 4 で 9 以上の整数である。

$3^k$ を 5 で割った余りは、$k=1,2,3,4,5,\dots$ の順に $3,4,2,1,3,\dots$ となり、周期 4 で繰り返す。よって $3^k\equiv 4(\mathrm{mod}5)$ となるのは $k\equiv 2(\mathrm{mod}4)$、つまり $k=4n-2$ ($n=1,2,\dots$) のときである。

このとき $3^k\ge 3^2=9$ だから、$3^k=5m+4$ となる $m$ は $m\ge 1$ の整数で、$a_m$ の項になっている。

したがって共通の項は $3^2,3^6,3^{10},\dots$ で、$c_n=3^{4n-2}$ である。

検算：$c_1=9=5\cdot 1+4$、$c_2=729=5\cdot 145+4$ で、どちらも成り立つ。