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数列の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 数列

等差数列 ${a_{n}}$ は $a_{5} = 17$ , $a_{12} = 45$ を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。

この問題で使うもの

等差数列・等比数列の一般項（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（13 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

等差数列の一般項の公式 $a_{n} = a + (n - 1) d$ を使います。初項 $a$ と公差 $d$ を求めましょう。

ヒント 2

$a_{5} = a + 4 d = 17$ 、 $a_{12} = a + 11 d = 45$ という連立方程式を立てます。

ヒント 3

2 式の差をとると $7 d = 28$ より $d = 4$ です。これを $a + 4 d = 17$ に代入して $a$ を求め、公式に代入します。

答えと解説

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4 n - 3

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解説を読む

等差数列の一般項の公式を使います。初項を $a$ 、公差を $d$ とすると、一般項は
$a_{n} = a + (n - 1) d$
です。

手順1：条件を式にする

$a_{5} = a + 4 d$ , $a_{12} = a + 11 d$ なので、条件から
$a + 4 d = 17 (1)$
$a + 11 d = 45 (2)$

手順2：連立方程式を解く

$(2) - (1)$ より $7 d = 28$ なので $d = 4$ です。

これを $(1)$ に代入すると $a + 16 = 17$ なので $a = 1$ です。

手順3：一般項の公式に代入する

$a_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 4 = 4 n - 3$

確かめ

$a_{5} = 4 \cdot 5 - 3 = 17$ , $a_{12} = 4 \cdot 12 - 3 = 45$ となり、条件を満たしています。

よって $a_{n} = 4 n - 3$ です。

別解

公差を $d$ とすると $a_{12} - a_{5} = 7 d = 45 - 17 = 28$ より $d = 4$ 。初項を $a_{1}$ とすると $a_{5} = a_{1} + 4 d = a_{1} + 16 = 17$ より $a_{1} = 1$ 。よって $a_{n} = 1 + 4 (n - 1) = 4 n - 3$ 。検算: $a_{5} = 20 - 3 = 17$ , $a_{12} = 48 - 3 = 45$ で条件を満たす。

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