数列の問題

正の整数 $m$ に対して、
$$m^2\le k\le (m+1{)}^2-1⟺m\le \sqrt{k}<m+1$$
が成り立つので、この範囲の $k$ では $\left[\sqrt{k}\right]=m$ となる。この範囲に含まれる整数 $k$ の個数は
$$(m+1{)}^2-1-m^2+1=2m+1$$
である。

$k=1,2,\dots ,n^2$ を、$m=1,2,\dots ,n-1$ に対応する範囲 $m^2\le k\le (m+1{)}^2-1$ と、最後の $k=n^2$ に分ける。$k=n^2$ のときは $\left[\sqrt{n^2}\right]=n$ である。よって
$$S_n=\sum _{m=1}^{n-1}m(2m+1)+n=2\sum _{m=1}^{n-1}{m}^2+\sum _{m=1}^{n-1}m+n$$
となる。$n=1$ のときは右辺の ${\sum }_{m=1}^0$ を $0$ とみなし、$S_1=1$ となって正しい。

和の公式より
$$\sum _{m=1}^{n-1}{m}^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6},\sum _{m=1}^{n-1}m=\frac{(n-1)n}{2}$$
であるから、
$$S_n=\frac{(n-1)n(2n-1)}{3}+\frac{n(n-1)}{2}+n$$

分母を $6$ にそろえると
$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\frac{2n(n-1)(2n-1)+3n(n-1)+6n}{6}\\ & =\frac{n\{2(2n^2-3n+1)+3n-3+6\}}{6}\\ & =\frac{n(4n^2-3n+5)}{6}\end{array}$$

(確認)
- $n=1$ のとき: $S_1=[\sqrt{1}]=1$ で、式の値は $\frac{1\cdot 6}{6}=1$ となり一致する。
- $n=2$ のとき: $S_2=1+1+1+2=5$ で、式の値は $\frac{2\cdot 15}{6}=5$ となり一致する。
- $n=3$ のとき: $S_3=1\cdot 3+2\cdot 5+3=16$ で、式の値は $\frac{3\cdot 32}{6}=16$ となり一致する。

以上より
$$S_n=\frac{n(4n^2-3n+5)}{6}$$

$m=1,2,\dots ,n-1$ について、$m^2\le k\le (m+1{)}^2-1$ のとき $[\sqrt{k}]=m$ であり、この範囲の $k$ は $2m+1$ 個ある。また $k=n^2$ のとき $[\sqrt{k}]=n$ である。したがって
$$S_n=\sum _{m=1}^{n-1}m(2m+1)+n=2\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}+\frac{n(n-1)}{2}+n.$$
整理すると
$$S_n=\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}+n=\frac{n(4n^2-3n+5)}{6}.$$
検算：$n=1$ のとき $S_1=1$ で、公式は $\frac{1\cdot 6}{6}=1$ となり一致する。$n=2$ のとき $1+1+1+2=5$ で、公式は $\frac{2\cdot 15}{6}=5$ となり一致する。$n=3$ のとき $5+(2+2+2+2+3)=16$ で、公式は $\frac{3\cdot 32}{6}=16$ となり一致する。