数列の問題

初項を $a$、公比を $r$（$r$ は実数）とすると、$a_n=a{r}^{n-1}$ である。

$a_4=a{r}^3=a_1{r}^3$, $a_5=a_2{r}^3$, $a_6=a_3{r}^3$ なので
$$a_4+a_5+a_6=r^3(a_1+a_2+a_3)$$
が成り立つ。条件より $56=7r^3$、すなわち $r^3=8$ である。

$r^3-8=(r-2)(r^2+2r+4)=0$ であり、$r^2+2r+4=(r+1{)}^2+3>0$ なので、実数 $r$ は $r=2$ だけである。

次に $a_1+a_2+a_3=a(1+r+r^2)=a(1+2+4)=7a=7$ より $a=1$。

よって $a_n=2^{n-1}$ であり、
$$S_n=\frac{1\cdot (2^n-1)}{2-1}=2^n-1$$
となる。

$S_n\geqq 2000$ は $2^n-1\geqq 2000$、すなわち $2^n\geqq 2001$ と同値である。

$2^{10}=1024<2001$, $2^{11}=2048\geqq 2001$ であり、$2^n$ は $n$ について単調に増加するから、条件を満たす最小の正の整数は $n=11$ である。

初項を $a$、公比を $r$（実数）とする。$a_4+a_5+a_6=r^3(a_1+a_2+a_3)$ より $56=7r^3$ なので $r^3=8$。$r$ は実数だから $r=2$。

$a(1+2+4)=7$ より $a=1$。よって $a_n=2^{n-1}$、$S_n=2^n-1$。

$S_n\geqq 2000$ より $2^n\geqq 2001$。$2^{10}=1024$、$2^{11}=2048$ なので、最小の $n$ は $11$。

検算：$S_{10}=1023<2000$、$S_{11}=2047\geqq 2000$。また $a_1+a_2+a_3=1+2+4=7$、$a_4+a_5+a_6=8+16+32=56$ で条件を満たす。