数列の問題

手順1：初めの数項を計算する

$$a_2=\frac{1}{2-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{5}{3}}=\frac{3}{5},a_3=\frac{1}{2-\frac{3}{5}}=\frac{1}{\frac{7}{5}}=\frac{5}{7},a_4=\frac{1}{2-\frac{5}{7}}=\frac{1}{\frac{9}{7}}=\frac{7}{9}$$

手順2：一般項を推定する

$a_1=\frac{1}{3},a_2=\frac{3}{5},a_3=\frac{5}{7},a_4=\frac{7}{9}$ の分子は $1,3,5,7$、分母は $3,5,7,9$ です。どちらも公差 $2$ の等差数列になっています。分子は初項 $1$ なので $1+(n-1)\cdot 2=2n-1$、分母は初項 $3$ なので $3+(n-1)\cdot 2=2n+1$ です。よって次のように推定できます。
$$a_n=\frac{2n-1}{2n+1}(A)$$

手順3：数学的帰納法で示す

[1] $n=1$ のとき、$(A)$ の右辺は $\frac{2\cdot 1-1}{2\cdot 1+1}=\frac{1}{3}$ です。これは $a_1=\frac{1}{3}$ と一致するので、$(A)$ は成り立ちます。

[2] $n=k$ のとき $(A)$ が成り立つ、すなわち $a_k=\frac{2k-1}{2k+1}$ と仮定します。漸化式より
$$2-a_k=2-\frac{2k-1}{2k+1}=\frac{2(2k+1)-(2k-1)}{2k+1}=\frac{2k+3}{2k+1}$$
となるので、
$$a_{k+1}=\frac{1}{2-a_k}=\frac{2k+1}{2k+3}=\frac{2(k+1)-1}{2(k+1)+1}$$
です。よって $n=k+1$ のときも $(A)$ は成り立ちます。

[1]、[2] より、すべての正の整数 $n$ について $a_n=\frac{2n-1}{2n+1}$ が成り立ちます。

手順4：$a_{10}$ を求める

$$a_{10}=\frac{2\cdot 10-1}{2\cdot 10+1}=\frac{19}{21}$$

$a_1=\frac{1}{3}$。$a_2=\frac{1}{2-\frac{1}{3}}=\frac{3}{5}$、$a_3=\frac{1}{2-\frac{3}{5}}=\frac{5}{7}$、$a_4=\frac{1}{2-\frac{5}{7}}=\frac{7}{9}$。

これより $a_n=\frac{2n-1}{2n+1}$ と推定する。

数学的帰納法で確かめる。
(i) $n=1$ のとき、$\frac{2\cdot 1-1}{2\cdot 1+1}=\frac{1}{3}$ で成り立つ。
(ii) $n=k$ のとき $a_k=\frac{2k-1}{2k+1}$ が成り立つと仮定する。このとき
$a_{k+1}=\frac{1}{2-\frac{2k-1}{2k+1}}=\frac{2k+1}{2(2k+1)-(2k-1)}=\frac{2k+1}{2k+3}=\frac{2(k+1)-1}{2(k+1)+1}$
となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について $a_n=\frac{2n-1}{2n+1}$ である。

よって $a_{10}=\frac{19}{21}$。

検算：漸化式で $a_5=\frac{1}{2-\frac{7}{9}}=\frac{9}{11}$ となり、一般項の $\frac{2\cdot 5-1}{2\cdot 5+1}=\frac{9}{11}$ と一致する。