数列の問題

手順1：初めの数項を計算する

漸化式に順に代入する。
$$a_2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2},a_3=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3},a_4=2-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$$

手順2：一般項を推定する

$a_1=\frac{2}{1}$ と書き直すと、$\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4}$ となり、分母が $n$、分子が $n+1$ になっている。そこで
$$a_n=\frac{n+1}{n}\cdots (1)$$
と推定する。

手順3：数学的帰納法で $(1)$ を示す

[1] $n=1$ のとき：$(1)$ の右辺は $\frac{1+1}{1}=2$ で、$a_1=2$ と一致する。よって $n=1$ で $(1)$ は成り立つ。

[2] $n=k$ のとき $(1)$ が成り立つ、すなわち $a_k=\frac{k+1}{k}$ と仮定する。このとき $a_k\ne 0$ なので漸化式が使えて
$$a_{k+1}=2-\frac{1}{a_k}=2-\frac{k}{k+1}=\frac{2(k+1)-k}{k+1}=\frac{k+2}{k+1}=\frac{(k+1)+1}{k+1}$$
となる。これは $n=k+1$ のときも $(1)$ が成り立つことを示している。

[1], [2] から、すべての正の整数 $n$ について $a_n=\frac{n+1}{n}$ が成り立つ。

手順4：$a_{10}$ を求める

$(1)$ に $n=10$ を代入して
$$a_{10}=\frac{10+1}{10}=\frac{11}{10}$$

$a_1=2$、$a_2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$、$a_3=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$、$a_4=2-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$ となる。よって $a_n=\frac{n+1}{n}$ と推定できる。

数学的帰納法で確かめる。
(i) $n=1$ のとき、$a_1=\frac{2}{1}=2$ で成り立つ。
(ii) $n=k$ のとき $a_k=\frac{k+1}{k}$ が成り立つと仮定する。このとき
$a_{k+1}=2-\frac{1}{a_k}=2-\frac{k}{k+1}=\frac{2(k+1)-k}{k+1}=\frac{k+2}{k+1}$
となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。
(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について $a_n=\frac{n+1}{n}$ である。

したがって $a_{10}=\frac{11}{10}$。

検算：$a_5=2-\frac{4}{5}=\frac{6}{5}$ で、公式の値 $\frac{6}{5}$ と一致する。