数列の問題

手順1：初項を求める

与えられた式 $S_n=2a_n+n$ に $n=1$ を代入します。$S_1=a_1$ なので
$$a_1=2a_1+1$$
より $a_1=-1$ です。

手順2：$n$ を $n+1$ にした式との差をとる

与えられた式の $n$ を $n+1$ にすると
$$S_{n+1}=2a_{n+1}+(n+1)(1)$$
もとの式は
$$S_n=2a_n+n(2)$$
です。$(1)-(2)$ を計算します。左辺は $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ なので
$$a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_n+1$$
これを $a_{n+1}$ について整理すると
$$a_{n+1}=2a_n-1$$
という漸化式が得られます。これはすべての正の整数 $n$ で成り立ちます。

手順3：漸化式を解く

特性方程式 $\alpha =2\alpha -1$ を解くと $\alpha =1$ です。よって漸化式は
$$a_{n+1}-1=2(a_n-1)$$
と変形できます。数列 $\{a_n-1\}$ は初項 $a_1-1=-1-1=-2$、公比 $2$ の等比数列なので
$$a_n-1=-2\cdot 2^{n-1}=-2^n$$
したがって
$$a_n=1-2^n$$

確かめ

$S_n={\sum }_{k=1}^n(1-2^k)=n-\frac{2(2^n-1)}{2-1}=n-2^{n+1}+2$。
一方 $2a_n+n=2-2^{n+1}+n$ となり、一致します。

答え：$a_n=1-2^n$

$n=1$ のとき $S_1=a_1=2a_1+1$ より $a_1=-1$。
$n\ge 2$ のとき $a_n=S_n-S_{n-1}=(2a_n+n)-(2a_{n-1}+n-1)$ より $a_n=2a_{n-1}-1$。
これを変形して $a_n-1=2(a_{n-1}-1)$。
$a_1-1=-2$ なので、数列 $\{a_n-1\}$ は初項 $-2$、公比 $2$ の等比数列。
よって $a_n-1=-2\cdot 2^{n-1}=-2^n$、したがって $a_n=1-2^n$。
検算: $a_1=-1$ で一致。$a_2=-3$、$S_2=-4$、$2a_2+2=-6+2=-4$ で成り立つ。$a_3=-7$、$S_3=-11$、$2a_3+3=-14+3=-11$ で成り立つ。