フロベニウスのトレースと拡大体上の点の数

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上の楕円曲線 $$E:y^2=x^3+x+3$$ を考え、$E({\mathbb{F}}_q)$ を $E$ の射影閉包の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点全体（無限遠点 $O$ を $1$ 個含む）とする。$\#E({\mathbb{F}}_7)=6$ であることがわかっている。このとき $\#E({\mathbb{F}}_{7^3})$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3$ 上の曲線
$$E:y^2=x^3-x+1$$
を考える。$E$ は楕円曲線（非特異）である。$E({\mathbb{F}}_q)$ を、$E$ の射影閉包 $Y^{2}Z=X^3-X{Z}^2+Z^3$ の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点全体（無限遠点 $[0:1:0]$ を含む）とする。$E({\mathbb{F}}_{27})$ の元の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の曲線
$$E:y^2+xy=x^3+1$$
を考える。$E$ は楕円曲線（非特異）であることを用いてよい。$E({\mathbb{F}}_q)$ を、$E$ の射影閉包 $Y^{2}Z+XYZ=X^3+Z^3$ の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点全体とする（無限遠点 $[0:1:0]$ を含む）。$\#E({\mathbb{F}}_{64})$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_5$ 上の楕円曲線
$$E:y^2=x^3+x+1$$
を考える。$E({\mathbb{F}}_q)$ を、$E$ の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点（無限遠点 $O$ を含む）全体とする。$E({\mathbb{F}}_{125})$ の元の個数 $\#E({\mathbb{F}}_{5^3})$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上の射影平面曲線
$$C:X^3+Y^3+Z^3=0(\subset {\mathbb{P}}^2)$$
を考え、${\mathbb{F}}_7$ の拡大体 ${\mathbb{F}}_{7^n}$ に対して $N_n$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_{7^n}$ 有理点（射影平面の点 $[X:Y:Z]$ で座標を ${\mathbb{F}}_{7^n}$ にとれるもの）の個数とする。$N_3$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3$ 上のアフィン曲線 $$y^2=x^5-x$$ の非特異射影モデルを $C$ とする。$C$ は種数 $2$ の超楕円曲線であり、$C$ の点のうちアフィン部分に含まれないもの（無限遠点）はちょうど $1$ 個で、それは ${\mathbb{F}}_3$ 有理点である。${\mathbb{F}}_3$ を含む有限体 ${\mathbb{F}}_{3^k}$ に対し、$N_k=\#C({\mathbb{F}}_{3^k})$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_{3^k}$ 有理点の個数（無限遠点を含む）とする。$N_4=\#C({\mathbb{F}}_{81})$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上のアフィン曲線 $$y^2=x^5+1$$ の非特異射影モデルを $C$ とする。$C$ は種数 $2$ の超楕円曲線であり、$C$ の点のうちアフィン部分 $y^2=x^5+1$ に含まれないもの（無限遠点）はただ $1$ つで、それは ${\mathbb{F}}_7$ 上定義されている。$C({\mathbb{F}}_q)$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点全体の集合とするとき、$\#C({\mathbb{F}}_{7^4})$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の射影平面曲線
$$C:X^{3}Y+Y^{3}Z+Z^{3}X=0(\subset {\mathbb{P}}^2)$$
を考える。$C$ は ${\overline{\mathbb{F}}}_2$ 上で非特異な $4$ 次曲線である（したがって種数は $3$）。正の整数 $k$ に対し、$N_k$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_{2^k}$ 有理点（${\mathbb{P}}^2({\mathbb{F}}_{2^k})$ の点で $C$ 上にあるもの）の個数とする。$N_6=\#C({\mathbb{F}}_{64})$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_5$ 上の射影平面曲線
$$C:X^4+Y^4+2Z^4=0(\subset {\mathbb{P}}^2,\text{斉次座標 }[X:Y:Z])$$
を考える。$C$ は非特異であり、種数は $3$ である。$C$ の ${\mathbb{F}}_{125}$ 有理点（斉次座標をすべて ${\mathbb{F}}_{125}$ の元に取れる $C$ 上の点）の個数 $\#C({\mathbb{F}}_{125})$ を求めよ。