代数幾何の問題

非特異性の確認。 標数 $3\ne 2$ なので、$y^2=f(x)$ が非特異であることと $f(x)=x^3-x+1$ が重根をもたないことは同値。$f^{\prime }(x)=3x^2-1=-1\ne 0$ なので $f$ と $f^{\prime }$ は共通根をもたず、$f$ は重根をもたない。よって $E$ は楕円曲線である。

$E({\mathbb{F}}_3)$ を数える。 ${\mathbb{F}}_3=\{0,1,2\}$ で平方元は $0,1$。
- $x=0$: $f(0)=1$。$y=\pm 1$ の 2 点。
- $x=1$: $f(1)=1-1+1=1$。2 点。
- $x=2$: $f(2)=8-2+1=7\equiv 1$。2 点。

アフィン点は 6 個、無限遠点を加えて $\#E({\mathbb{F}}_3)=7$。

フロベニウスの固有値。 $a=3+1-\#E({\mathbb{F}}_3)=4-7=-3$ とおくと、ハッセ・ヴェイユの定理（ゼータ関数の有理性）より、$T^2-aT+3=T^2+3T+3$ の 2 根を $\alpha ,\beta$ として
$$\#E({\mathbb{F}}_{3^n})=3^n+1-({\alpha }^n+{\beta }^n)(n\ge 1).$$
$\alpha +\beta =-3$, $\alpha \beta =3$ なので
$${\alpha }^3+{\beta }^3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )=(-27)-3\cdot 3\cdot (-3)=-27+27=0.$$
よって
$$\#E({\mathbb{F}}_{27})=27+1-0=28.$$

（別解による確認: $L(x)=x^3-x$ は ${\mathbb{F}}_{27}$ 上の ${\mathbb{F}}_3$ 線形写像で、核は ${\mathbb{F}}_3$、像はトレース $0$ の元全体 $V$（9 元）。$\mathrm{Tr}(1)=3=0$ なので $f(x)=L(x)+1$ の値域も $V$ で、各値を 3 回ずつとる。$\chi$ を ${\mathbb{F}}_{27}$ の平方剰余指標とすると、アフィン点の個数は ${\sum }_x(1+\chi (f(x)))=27+3{\sum }_{v\in V}\chi (v)$。$27\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ より $\chi (-1)=-1$ で、$V=-V$ なので ${\sum }_{v\in V}\chi (v)=0$。よってアフィン点は 27 個、無限遠点と合わせて 28 個。）

まず ${\mathbb{F}}_3$ 上の点を数える。$x\in \{0,1,2\}$ に対し $x^3-x=0$（フェルマーの小定理）なので右辺は常に $1$。$y^2=1$ は $y=\pm 1$ の 2 解をもつ。よってアフィン点は $3\times 2=6$ 個、無限遠点を加えて $\#E({\mathbb{F}}_3)=7$。

フロベニウスのトレース $a_1=q+1-\#E({\mathbb{F}}_3)=3+1-7=-3$。フロベニウス固有値 $\alpha ,\beta$ は $\alpha +\beta =-3$, $\alpha \beta =3$ を満たす（$T^2+3T+3=0$ の根。判別式 $9-12=-3<0$ で $|\alpha |=\sqrt{3}$ と整合）。

$\#E({\mathbb{F}}_{3^n})=3^n+1-({\alpha }^n+{\beta }^n)$。$n=3$ では
${\alpha }^3+{\beta }^3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )=(-3{)}^3-3\cdot 3\cdot (-3)=-27+27=0$。
よって $\#E({\mathbb{F}}_{27})=27+1-0=28$。

検算: $\alpha =\frac{-3+\sqrt{-3}}{2}$ とすると ${\alpha }^2=\frac{9-6\sqrt{-3}-3}{4}=\frac{3-3\sqrt{-3}}{2}$、${\alpha }^3=\alpha \cdot {\alpha }^2=\frac{(-3+\sqrt{-3})(3-3\sqrt{-3})}{4}=\frac{-9+9\sqrt{-3}+3\sqrt{-3}+9}{4}=3\sqrt{-3}$ で純虚数、共役との和は $0$。また $\#E({\mathbb{F}}_3)=7$ は $\#E({\mathbb{F}}_{27})=28$ を割り切る（部分群）ことも確認できる。
答え: $28$。