代数幾何の問題

${\mathbb{F}}_2$ 有理点の数え上げ

• $x=0$ のとき、$y^2=1$ より $y=1$ で、1 点。
• $x=1$ のとき、$y^2+y=1+1=0$ より $y=0,1$ で、2 点。

無限遠点 $[0:1:0]$ を加えて $\#E({\mathbb{F}}_2)=4$ である。

フロベニウスのトレースと特性多項式

フロベニウスのトレースは $a=q+1-\#E({\mathbb{F}}_q)=2+1-4=-1$ である。$E$ の合同ゼータ関数（ヴェイユ予想、楕円曲線ではハッセの定理による）より、フロベニウスの特性多項式は
$$T^2-aT+q=T^2+T+2$$
である。その根を $\alpha ,\bar{\alpha }$ とすると、すべての $n\ge 1$ に対して
$$\#E({\mathbb{F}}_{2^n})=2^n+1-({\alpha }^n+{\bar{\alpha }}^n)$$
が成り立つ。

$s_n$ の計算

$s_n={\alpha }^n+{\bar{\alpha }}^n$ とおく。${\alpha }^2=-\alpha -2$ から漸化式
$$s_n=-s_{n-1}-2s_{n-2},s_0=2,s_1=-1$$
を得る。これを順に計算すると次のようになる。

結論

$$\#E({\mathbb{F}}_{64})=64+1-9=56.$$

検算

$\#E({\mathbb{F}}_4)=4+1+3=8$ である。${\mathbb{F}}_4=\{0,1,\omega ,{\omega }^2\}$ で直接数えると、$x=0$ で 1 点、$x=1,\omega ,{\omega }^2$ で各 2 点、これに無限遠点を加えて 8 点となり一致する。また $\#E({\mathbb{F}}_8)=8+1-5=4$ である。$E({\mathbb{F}}_4)$ と $E({\mathbb{F}}_8)$ は $E({\mathbb{F}}_{64})$ の部分群なので、$8$ と $4$ はともに $56$ を割り切るはずであり、実際に割り切る。

${\mathbb{F}}_2$ 上の点を数える。$x=0$ のとき $y^2=1$ より $y=1$ の 1 点。$x=1$ のとき $y^2+y=1+1=0$ より $y=0,1$ の 2 点。無限遠点を加えて $\#E({\mathbb{F}}_2)=4$。したがってフロベニウスのトレースは $t=2+1-4=-1$ で、固有値 $\alpha ,\beta$ は $\alpha +\beta =-1$, $\alpha \beta =2$ をみたす。
$s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ とおくと $s_0=2$, $s_1=-1$, $s_n=-s_{n-1}-2s_{n-2}$。
$s_2=1-4=-3$, $s_3=3+2=5$。$s_6=s_3^2-2(\alpha \beta {)}^3=25-16=9$。
よって $\#E({\mathbb{F}}_{64})=64+1-9=56$。
検算：$s_4=1,s_5=-11,s_6=11-2=9$ で一致。また $\#E({\mathbb{F}}_4)=4+1+3=8$ で $\#E({\mathbb{F}}_2)=4$ が割り切り、56 も 4 の倍数で部分群の位数と整合する。