代数幾何の問題

$\#E({\mathbb{F}}_5)$ の計算. ${\mathbb{F}}_5$ の平方元は $0,1,4$（$1^2=1,2^2=4,3^2=4,4^2=1$）である。各 $x\in {\mathbb{F}}_5$ について $x^3+x+1$ を計算すると
- $x=0$: $1$（平方元、$y=\pm 1$ の 2 点）
- $x=1$: $3$（非平方元、0 点）
- $x=2$: $8+2+1=11\equiv 1$（2 点）
- $x=3$: $27+3+1=31\equiv 1$（2 点）
- $x=4$: $64+4+1=69\equiv 4$（2 点）

よってアフィン点は $8$ 個、無限遠点を加えて $\#E({\mathbb{F}}_5)=9$。（判別式 $-16(4\cdot 1+27\cdot 1)=-496\equiv -1\not\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ より $E$ は非特異である。）

フロベニウスのトレース. $a=5+1-\#E({\mathbb{F}}_5)=6-9=-3$。ハッセの評価 $|a|\le 2\sqrt{5}\approx 4.47$ を満たす。

ゼータ関数（ヴェイユ予想）による拡大体への持ち上げ. $X^2-aX+5=X^2+3X+5$ の根を $\alpha ,\beta$ とすると
$$\#E({\mathbb{F}}_{5^n})=5^n+1-({\alpha }^n+{\beta }^n).$$
$s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ とおくと $s_0=2$, $s_1=a=-3$, $s_n=a{s}_{n-1}-5s_{n-2}$ である。
$$s_2=(-3)(-3)-5\cdot 2=-1,s_3=(-3)(-1)-5\cdot (-3)=3+15=18.$$
（$s_3=a^3-3\cdot 5\cdot a=-27+45=18$ とも計算できる。）

したがって
$$\#E({\mathbb{F}}_{125})=125+1-18=108.$$

検算：$E({\mathbb{F}}_5)$ は $E({\mathbb{F}}_{125})$ の部分群なので $9\mid 108$ となるはずで、実際 $108=9\cdot 12$ である。

まず ${\mathbb{F}}_5$ 上の点を数える。平方元は $0,1,4$。$x=0$: $y^2=1$ で 2 点。$x=1$: $1+1+1=3$ は非平方で 0 点。$x=2$: $8+2+1=11\equiv 1$ で 2 点。$x=3$: $27+3+1=31\equiv 1$ で 2 点。$x=4$: $64+4+1=69\equiv 4$ で 2 点。アフィン点は 8 個、無限遠点を加えて $\#E({\mathbb{F}}_5)=9$。よって $a=5+1-9=-3$、フロベニウスの固有値 $\alpha ,\beta$ は $\alpha +\beta =-3$, $\alpha \beta =5$。${\alpha }^3+{\beta }^3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )=-27+45=18$。したがって $\#E({\mathbb{F}}_{125})=125+1-18=108$。検算: $\#E({\mathbb{F}}_5)=9$ は $\#E({\mathbb{F}}_{125})$ を割り切るはずで、$108=9\cdot 12$ で整合する。