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代数幾何の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学代数幾何

$a \in F_{7}^{\times}$ に対し、 $F_{7}$ 上の楕円曲線
$E_{a} : y^{2} = x^{3} + a$
を考える。 $N_{a}$ を $E_{a}$ の $F_{7}$ 有理点の個数（無限遠点 $O$ を含める）とする。 $a$ が $F_{7}^{\times}$ 全体を動くとき、 $N_{a}$ のとりうる値をすべて求めよ。

この問題で使うもの

平方剰余による有理点の数え上げ（説明と入口の問題）
ワイエルシュトラス方程式の非特異性（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（69 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

各 $x \in F_{7}$ について $y^{2} = x^{3} + a$ の解 $y$ の個数を平方剰余記号で表し、足し合わせよう。

ヒント 2

$N_{a} = 8 + \sum_{x} χ (x^{3} + a)$ であり、 $F_{7}$ では $x^{3}$ は $0$ （1 回）、 $1$ （3 回）、 $- 1$ （3 回）の値しかとらない。

ヒント 3

$N_{a} = 8 + χ (a) + 3 χ (a + 1) + 3 χ (a - 1)$ となる。例えば $a = 1$ では $N_{1} = 12$ である。残りの $a$ を計算しよう。

答えと解説

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{3, 4, 7, 9, 12, 13}

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解説を読む

$χ$ を $F_{7}$ 上の平方剰余指標（ $χ (0) = 0$ ）とする。 $F_{7}$ の $0$ でない平方元は $1, 2, 4$ なので
$χ (1) = χ (2) = χ (4) = 1, χ (3) = χ (5) = χ (6) = - 1$
である。各 $x$ に対し $y^{2} = v$ をみたす $y \in F_{7}$ の個数は $1 + χ (v)$ だから
$N_{a} = 1 + x \in F_{7} \sum (1 + χ (x^{3} + a)) = 8 + x \in F_{7} \sum χ (x^{3} + a) .$

$x^{3}$ の値を調べると、 $x = 0$ で $0$ 、 $x = 1, 2, 4$ で $1$ 、 $x = 3, 5, 6$ で $6 = - 1$ である（ $3^{3} = 27 \equiv 6$ など）。したがって
$N_{a} = 8 + χ (a) + 3 χ (a + 1) + 3 χ (a - 1) .$

各 $a$ について計算する。
- $a = 1$ : $χ (1) + 3 χ (2) + 3 χ (0) = 1 + 3 + 0 = 4$ より $N_{1} = 12$ 。
- $a = 2$ : $χ (2) + 3 χ (3) + 3 χ (1) = 1 - 3 + 3 = 1$ より $N_{2} = 9$ 。
- $a = 3$ : $χ (3) + 3 χ (4) + 3 χ (2) = - 1 + 3 + 3 = 5$ より $N_{3} = 13$ 。
- $a = 4$ : $χ (4) + 3 χ (5) + 3 χ (3) = 1 - 3 - 3 = - 5$ より $N_{4} = 3$ 。
- $a = 5$ : $χ (5) + 3 χ (6) + 3 χ (4) = - 1 - 3 + 3 = - 1$ より $N_{5} = 7$ 。
- $a = 6$ : $χ (6) + 3 χ (0) + 3 χ (5) = - 1 + 0 - 3 = - 4$ より $N_{6} = 4$ 。

いずれも Hasse の評価 $∣ N_{a} - 8∣ \leq 27 \approx 5.29$ をみたしている。また $7 \neq = 2, 3$ , $a \neq = 0$ なので $E_{a}$ はすべて非特異である。

よって $N_{a}$ のとりうる値は ${3, 4, 7, 9, 12, 13}$ である。

別解

$F_{7}$ での立方: $x = 0 \mapsto 0$ ; $x = 1, 2, 4 \mapsto 1$ ; $x = 3, 5, 6 \mapsto 6$ 。平方剰余は ${1, 2, 4}$ 。 $x$ ごとの $y$ の個数は $f (x) = x^{3} + a$ が 0 なら 1、平方剰余なら 2、非剰余なら 0。

アフィン点数 $= g (a) + 3 g (1 + a) + 3 g (6 + a)$ （ $g (0) = 1$ , $g (QR) = 2$ , $g (NR) = 0$ 、ただし $g (0 のとき x = 0)$ は $a \neq = 0$ なので $g (a)$ は 0 ではない）。

$a = 1$ : $x = 0 \to 1$ （QR）で 2、 $1 + a = 2$ （QR）で $3 \cdot 2 = 6$ 、 $6 + a = 0$ で $3 \cdot 1 = 3$ 。合計 11、 $N = 12$ 。
$a = 2$ : $2$ （QR）で 2、 $3$ （NR）で 0、 $8 \equiv 1$ （QR）で 6。合計 8、 $N = 9$ 。
$a = 3$ : $3$ （NR）で 0、 $4$ （QR）で 6、 $9 \equiv 2$ （QR）で 6。合計 12、 $N = 13$ 。
$a = 4$ : $4$ （QR）で 2、 $5$ （NR）で 0、 $10 \equiv 3$ （NR）で 0。合計 2、 $N = 3$ 。
$a = 5$ : $5$ （NR）で 0、 $6$ （NR）で 0、 $11 \equiv 4$ （QR）で 6。合計 6、 $N = 7$ 。
$a = 6$ : $6$ （NR）で 0、 $7 \equiv 0$ で 3、 $12 \equiv 5$ （NR）で 0。合計 3、 $N = 4$ 。

検算: ハッセの定理 $∣ N - 8∣ \leq 27 \approx 5.29$ をすべて満たす。また $p \equiv 1 (mod 3)$ の CM 曲線なので $N = 8 - t$ , $t \in {\pm 1, \pm 4, \pm 5, \dots}$ ( $4 \cdot 7 = a^{2} + 3 b^{2} \cdot$ の型: $t \in {\pm 1, \pm 4, \pm 5}$ ) で、 $8 - t \in {3, 4, 7, 9, 12, 13}$ と一致する。

答え: ${3, 4, 7, 9, 12, 13}$

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