代数幾何の問題

$\#E({\mathbb{F}}_{11})$ の計算. $\gcd (3,11-1)=1$ なので、$x\mapsto x^3$ は ${\mathbb{F}}_{11}$ 上の全単射であり、$x\mapsto x^3+1$ も全単射である。$\chi$ を ${\mathbb{F}}_{11}$ の平方剰余指標（$\chi (0)=0$）とすると、アフィン点の個数は
$$\sum _{x\in {\mathbb{F}}_{11}}(1+\chi (x^3+1))=11+\sum _{t\in {\mathbb{F}}_{11}}\chi (t)=11+0=11.$$
無限遠点を加えて $\#E({\mathbb{F}}_{11})=12$。よってフロベニウスのトレースは $a=11+1-12=0$ である。

フロベニウスの関係式. ${\mathbb{F}}_{11}$ 上の $11$ 乗フロベニウス写像 $\pi$ は $E$ の自己準同型として ${\pi }^2-a\pi +11=0$ をみたすので、$a=0$ より
$${\pi }^2=-11(\mathrm{End}(E)\text{の中で}).$$

$E({\mathbb{F}}_{121})$ の構造. $E({\mathbb{F}}_{121})=\ker ({\pi }^2-1)$ であり、${\pi }^2-1=-12$ なので
$$E({\mathbb{F}}_{121})=\ker ([-12])=E[12].$$
$12$ は標数 $11$ と互いに素だから $E[12]\cong (\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}{)}^2$ である（位数 $144$。実際 $\#E({\mathbb{F}}_{121})=121+1-({\alpha }^2+{\bar{\alpha }}^2)=122-(-22)=144$ と一致する）。

位数 $12$ の元の個数. $(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}{)}^2\cong (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}{)}^2\times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^2$ において、位数が $12$ である元は、$(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}{)}^2$ 成分の位数が $4$、$(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^2$ 成分の位数が $3$ であるものである。
- $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}{)}^2$ で位数 $4$ の元: $16-4=12$ 個（位数が $2$ を割る元は $4$ 個）
- $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^2$ で位数 $3$ の元: $9-1=8$ 個

よって求める個数は $12\times 8=96$ である。

$p=11$ は $p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ なので、$E:y^2=x^3+1$ は ${\mathbb{F}}_{11}$ 上で超特異である。$x\mapsto x^3$ は ${\mathbb{F}}_{11}$ 上の全単射($\gcd (3,10)=1$)なので、各 $x$ に対し $y^2=x^3+1$ の解の個数の和は ${\sum }_x(1+\chi (x^3+1))=11+{\sum }_u\chi (u)=11$。よって $\#E({\mathbb{F}}_{11})=11+1=12$、トレース $a=0$。
フロベニウス $\pi$ は ${\pi }^2-0\cdot \pi +11=0$ すなわち ${\pi }^2=-11$ をみたす。${\mathbb{F}}_{121}$ 上のフロベニウスは ${\pi }^2=-11$(スカラー倍 $[-11]$)である。
$E({\mathbb{F}}_{121})=\ker ({\pi }^2-1)=\ker ([-11]-[1])=\ker [-12]=E[12]$。$12$ は標数 $11$ と互いに素なので $E[12]\cong (\mathbb{Z}/12{)}^2$、位数は $144$(公式 $121+1-({\alpha }^2+{\bar{\alpha }}^2)=122+22=144$ とも一致)。
$(\mathbb{Z}/12{)}^2\cong (\mathbb{Z}/4{)}^2\times (\mathbb{Z}/3{)}^2$ で、位数ちょうど $12$ の元は、$(\mathbb{Z}/4{)}^2$ の位数ちょうど $4$ の元($16-4=12$ 個)と $(\mathbb{Z}/3{)}^2$ の位数ちょうど $3$ の元($9-1=8$ 個)の組。$12\times 8=96$。
検算: ジョルダンのトーシェント $J_2(12)=12^2(1-1/4)(1-1/9)=144\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{8}{9}=96$。