フロベニウスが整数になる場合の有理点群

$F_{q}$ 上のフロベニウス $π$ が $π^{2} - aπ + q = 0$ を満たすことを使える。 $F_{q^{k}}$ のフロベニウス $π^{k}$ が整数 $c$ に等しいとき（例: 超特異で $a = 0$ なら $π^{2} = - q$ ）、 $E (F_{q^{k}}) = ker (π^{k} - 1) = E [∣ c - 1∣] ≅ (Z /∣ c - 1∣)^{2}$ と決められる（例: $y^{2} = x^{3} + 1$ over $F_{11}$ では $E (F_{121}) ≅ (Z /12)^{2}$ ）。そのうえで、位数がちょうど $d$ の点の個数 $d^{2} \prod_{p ∣ d} (1 - p^{- 2})$ を求められる

前提

フロベニウスのトレースと拡大体上の点の数（大学院数学代数幾何）
楕円曲線の有理点群の構造（大学院数学代数幾何）

この技能までの道筋（69 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

約数の見つけ方（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）
余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
合同式（数学A 整数の性質）
群の位数と元の位数（大学数学代数学）
有限アーベル群の構造と部分群の個数（大学数学代数学）
剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
整式の除法（数学II 複素数と方程式）
剰余環のイデアルと単元の個数（大学数学代数学）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
最小多項式と既約性の判定（大学数学代数学）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
拡大次数と次数の積の公式（大学数学代数学）
有限体の構造と部分体（大学数学代数学）
射影平面曲線と斉次化（大学院数学代数幾何）
平方剰余による有理点の数え上げ（大学院数学代数幾何）
連立方程式の解き方（加減法・代入法）（中学数学方程式）
等差数列・等比数列の一般項（数学B 数列）
$a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 型の漸化式（数学B 数列）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）
隣接 3 項間の漸化式（数学B 数列）
フロベニウスのトレースと拡大体上の点の数（大学院数学代数幾何）
ユークリッドの互除法（数学A 整数の性質）
1 次不定方程式の整数解（数学A 整数の性質）
法 $m$ での逆元（拡張ユークリッドの互除法）（大学数学暗号理論）
有限体上の楕円曲線の点の加算（大学数学暗号理論）
楕円曲線の有理点群の構造（大学院数学代数幾何）

説明

有限体 $F_{q}$ （標数 $p$ ）上の楕円曲線 $E$ では、点の個数だけでは有理点群の構造は一般には決まりません。しかし、ある拡大体 $F_{q^{k}}$ でフロベニウス $π^{k}$ が整数 $c$ に等しくなるときは、 $E (F_{q^{k}})$ がちょうど $∣ c - 1∣$ 等分点全体になり、 $(Z /∣ c - 1∣)^{2}$ と完全に決まります。この技能では、トレース $a$ から $π^{k}$ が整数になる $k$ を見つけ、群の構造を決め、位数がちょうど $d$ の点の個数を $d^{2} \prod_{ℓ ∣ d} (1 - ℓ^{- 2})$ で求めます。 $a = 0$ となる超特異曲線の 2 次拡大上の点を調べるときに典型的に使います。

なぜそうしてよいのか

フロベニウス $π (x, y) = (x^{q}, y^{q})$ （ $π (O) = O$ ）は $E$ の自己準同型（点の加法を保つ写像）で、 $F_{q^{k}}$ の元は $t^{q^{k}} = t$ をみたす元のことなので、 $E (F_{q^{k}}) = {P : π^{k} (P) = P} = ker (π^{k} - 1)$ です。また $π$ は 2 次の関係式 $π^{2} - aπ + q = 0$ （ $a = q + 1 - # E (F_{q})$ 、整数 $n$ は $n$ 倍写像を表す）をみたします。これは前提の技能で $α, β$ を解にもつ $x^{2} - a x + q$ そのものです。たとえば $a = 0$ なら $π^{2} = - q$ で、 $π^{2}$ は整数 $c = - q$ 倍写像そのものになります。一般に $α^{k} = β^{k} = c$ （整数）となる $k$ があれば $(π^{k} - c)^{2} = π^{2 k} - s_{k} π^{k} + q^{k} = 0$ で、 $0$ でない自己準同型は代数閉包上の点で全射なので 2 つの合成も $0$ にならないことから、 $π^{k} = c$ が従います。

$π^{k} = c$ なら $π^{k} - 1$ は $(c - 1)$ 倍写像なので、 $m = ∣ c - 1∣$ として $E (F_{q^{k}}) = ker [c - 1] = E [m] = {P : m P = O}$ です（ $- m$ 倍と $m$ 倍の核は同じ）。ここで $c^{2} = q^{k}$ より $p ∣ c$ 、したがって $c - 1 \equiv - 1 (mod p)$ で $p ∤ m$ です。 $p$ で割り切れない $m$ については、代数閉包上の $m$ 等分点群が $E [m] ≅ (Z / m)^{2}$ であることが基本事実なので、 $E (F_{q^{k}}) ≅ (Z / m)^{2}$ と決まります。検算として、点の個数は $# E (F_{q^{k}}) = q^{k} + 1 - s_{k} = c^{2} + 1 - 2 c = (c - 1)^{2} = m^{2}$ となり、前提の技能の結果と一致します。

最後に $(Z / m)^{2}$ の中の位数がちょうど $d$ の元を数えます。 $d ∤ m$ ならそのような元はなく $0$ 個です。 $d ∣ m$ なら $d P = O$ となる元は各成分で $g cd (d, m) = d$ 通りずつ、計 $d^{2}$ 個です。 $d = ℓ^{e}$ （ $ℓ$ は素数）のとき、位数が $d$ の真の約数の元は $ℓ^{e - 1}$ 倍で消える元なので $(d / ℓ)^{2}$ 個あり、ちょうど位数 $d$ の元は $d^{2} - (d / ℓ)^{2} = d^{2} (1 - ℓ^{- 2})$ 個です。一般の $d$ では、素因数ごとの部分（中国剰余定理で分かれる）の個数を掛けて $d^{2} \prod_{ℓ ∣ d} (1 - ℓ^{- 2})$ 個になります。

手順

$# E (F_{q})$ からトレース $a = q + 1 - # E (F_{q})$ を求め、 $π^{2} = aπ - q$ を書く。
$π^{k}$ が整数 $c$ になる $k$ を探す。 $a = 0$ なら $k = 2$ , $c = - q$ 。一般には漸化式で $s_{k}$ を求め、 $s_{k} = 2 c$ かつ $c^{2} = q^{k}$ （すなわち $α^{k} = β^{k} = c$ ）となる $k$ を探す。
$m = ∣ c - 1∣$ とおき、 $E (F_{q^{k}}) = ker (π^{k} - 1) = E [m] ≅ (Z / m)^{2}$ と決める。 $# E (F_{q^{k}}) = q^{k} + 1 - s_{k} = m^{2}$ で検算する。
位数がちょうど $d$ の点の個数を求める。 $d ∤ m$ なら $0$ 個、 $d ∣ m$ なら $d^{2} \prod_{ℓ ∣ d} (1 - ℓ^{- 2})$ 個（ $ℓ$ は $d$ の素因数）。

例題

$F_{7}$ 上の楕円曲線 $E : y^{2} = x^{3} - x$ について、 $# E (F_{7}) = 8$ である。 $E (F_{49})$ の中で位数がちょうど $8$ の点の個数を求めよ。

例題の解答

（手順 1） $a = 7 + 1 - 8 = 0$ 。よって $π^{2} - 0 \cdot π + 7 = 0$ 、すなわち $π^{2} = - 7$ 。

（手順 2） $k = 2$ で $π^{2} = c = - 7$ と整数になる（ $s_{2} = a^{2} - 2 q = - 14 = 2 c$ , $c^{2} = 49 = 7^{2}$ とも合う）。

（手順 3） $m = ∣ c - 1∣ = ∣ - 8∣ = 8$ で、 $7 ∤ 8$ 。よって $E (F_{49}) = ker (π^{2} - 1) = ker [- 8] = E [8] ≅ (Z /8)^{2}$ 。検算: $# E (F_{49}) = 49 + 1 - (- 14) = 64 = 8^{2}$ 。

（手順 4） $d = 8 = 2^{3}$ は $m = 8$ を割り切るので、位数がちょうど 8 の点は
$8^{2} (1 - \frac{1}{4}) = 64 - 16 = 48$
個（ $8 P = O$ をみたす 64 個から、 $4 P = O$ をみたす $4^{2} = 16$ 個を除いた）。

答え: $48$

よくある誤り

$E (F_{q^{k}}) = E [∣ c ∣]$ としてしまう誤り。有理点は $π^{k} (P) = P$ 、つまり $(π^{k} - 1) (P) = O$ をみたす点なので、正しくは $E [∣ c - 1∣]$ 。上の例で $E [7]$ とすると誤りで、正しくは $E [8] ≅ (Z /8)^{2}$ 。
$c = - q$ の符号を落として $m = q - 1$ としてしまう誤り。 $a = 0$ のとき $π^{2} = - q$ なので $m = ∣ - q - 1∣ = q + 1$ 。上の例で $m = 6$ とすると $# E (F_{49}) = 36$ となり、 $49 + 1 - s_{2} = 64$ と合わない。
位数がちょうど $d$ の点の個数を $d^{2}$ や $φ (d)^{2}$ としてしまう誤り。 $d^{2}$ は $d P = O$ をみたす点（ $O$ を含む）の個数で、 $φ (d)^{2}$ は少なすぎる。 $(Z /8)^{2}$ の位数 8 の元は $64 - 16 = 48$ 個で、 $64$ でも $4^{2} = 16$ でもない。
$π$ が整数でない段階で同じ議論をしてしまう誤り。上の曲線では $E (F_{7})$ は $# = 8$ だが $π$ は整数でなく、群は $Z /2 \times Z /4$ で $(Z / m)^{2}$ の形ではない。 $(Z / m)^{2}$ と決められるのは $π^{k}$ が整数になる拡大体 $F_{q^{k}}$ だけである。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$F_{q}$ を位数 $q$ の有限体とする。 $F_{7}$ 上の楕円曲線 $E : y^{2} = x^{3} - x$ を考え、 $E (F_{q})$ を $E$ の射影閉包の $F_{q}$ 有理点全体（無限遠点 $O$ を単位元とするアーベル群）とする。 $# E (F_{7}) = 8$ であることがわかっている。 $E (F_{49})$ の元のうち、位数がちょうど $8$ であるものの個数を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
$F_{q}$ を位数 $q$ の有限体とする。 $F_{11}$ 上の楕円曲線
$E : y^{2} = x^{3} + 1$
を考え、 $E (F_{121})$ を $E$ の $F_{121}$ 有理点全体（無限遠点 $O$ を含む）のなす群とする（群演算は $O$ を単位元とする通常の加法）。 $E (F_{121})$ の元のうち、位数がちょうど $12$ であるものの個数を求めよ。