代数幾何の問題

方針. ${\mathbb{F}}_7$ 上のフロベニウス写像 $\pi$ は ${\pi }^2-a\pi +7=0$（$a=7+1-\#E({\mathbb{F}}_7)$）をみたす。${\pi }^2$ が整数になれば、$E({\mathbb{F}}_{49})=\ker ({\pi }^2-1)$ がある $n$ について $E[n]$ に一致し、群の構造が決まる。

1. トレースを求める.
$$a=7+1-\#E({\mathbb{F}}_7)=8-8=0.$$
よって ${\pi }^2-0\cdot \pi +7=0$、すなわち
$${\pi }^2=-7.$$

2. $E({\mathbb{F}}_{49})$ の構造を決める. ${\mathbb{F}}_{49}$ 上のフロベニウスは ${\pi }^2$ であり、点 $P$ が ${\mathbb{F}}_{49}$ 有理点であることは ${\pi }^2(P)=P$ と同値なので
$$E({\mathbb{F}}_{49})=\ker ({\pi }^2-1)=\ker (-7-1)=\ker (-8)=E[8].$$
$8$ は標数 $7$ と互いに素なので $E[8]\cong (\mathbb{Z}/8{)}^2$。したがって
$$E({\mathbb{F}}_{49})\cong \mathbb{Z}/8\times \mathbb{Z}/8,\#E({\mathbb{F}}_{49})=64.$$
（確認: $s_2=a^2-2q=0-14=-14$ より $\#E({\mathbb{F}}_{49})=49+1-(-14)=64$ で一致する。）

3. 位数がちょうど $8$ の元を数える. $(\mathbb{Z}/8{)}^2$ の元の位数は $1,2,4,8$ のいずれかで、位数が $4$ を割り切る元の全体は $(\mathbb{Z}/8{)}^2$ の $4$ 倍で消える部分 $\cong (\mathbb{Z}/4{)}^2$ であり、$16$ 個。よって位数がちょうど $8$ の元は
$$64-16=48\text{個}.$$
公式 $d^2{\prod }_{p\mid d}(1-p^{-2})$ で $d=8$ とすると $64\cdot \left(1-\frac{1}{4}\right)=48$ となり一致する。

よって答えは $48$ である。

$a=7+1-8=0$ より、${\mathbb{F}}_7$ 上のフロベニウス $\pi$ は ${\pi }^2-7\cdot 0\cdot \pi +7=0$、すなわち ${\pi }^2=-7$。${\mathbb{F}}_{49}$ 上のフロベニウスは ${\pi }^2=-7$（スカラー倍写像 $[-7]$）。したがって $E({\mathbb{F}}_{49})=\ker (1-{\pi }^2)=\ker ([8])=E[8]$。位数は $49+1-(-14)=64=8^2$ で一致し、$\mathrm{char}=7\nmid 8$ なので $E[8]\cong (\mathbb{Z}/8{)}^2$。\n\n$(\mathbb{Z}/8{)}^2$ の位数がちょうど 8 の元の個数は、全 64 個から位数が 4 以下の元 $E[4]$（$4^2=16$ 個）を除いた $64-16=48$ 個。\n\n検算: 位数 1 が 1、位数 2 が 3、位数 4 が $16-4=12$、位数 8 が 48 で、$1+3+12+48=64$。また 位数 8 の元は $\phi (8)\cdot \#\{\text{位数 8 の巡回部分群}\}=4\cdot 12=48$（巡回部分群の個数は ${\mathbb{P}}^1(\mathbb{Z}/8)$ の個数 $8+4=12$）で一致。