有限体の構造と部分体

${\mathbb{F}}_5$ を元の個数が $5$ の有限体とし、$K={\mathbb{F}}_5[x]/(x^2+2)$ とする。$K$ は体である。$K$ の乗法群 $K^{\times }=K\setminus \{0\}$ の生成元（$K$ の原始元）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を元の個数が $3$ の有限体とし、$f(x)=x^3+2x+1\in {\mathbb{F}}_3[x]$ とする。剰余環 $K={\mathbb{F}}_3[x]/(f)$ を考える。$f$ が ${\mathbb{F}}_3$ 上既約であることを確かめたうえで、$K$ の乗法群 $K^{\times }$ の生成元（$K$ の原始元）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とし、$f(x)=x^4+x+1$ とする。$f(x)$ は ${\mathbb{F}}_2$ 上既約であることが知られている（このことは証明せずに用いてよい）。剰余環 $K={\mathbb{F}}_2[x]/(f(x))$ を考える。$K$ の $0$ でない元全体がなす乗法群 $K^{\times }$ の生成元（すなわち $K$ の原始元）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を元の個数が $3$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3$ 上の $6$ 次のモニック既約多項式（最高次の係数が $1$ である既約多項式）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_5$ を元の個数が $5$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_5$ 上の $3$ 次のモニック既約多項式（最高次の係数が $1$ である既約多項式）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とする。多項式
$$x^{729}-x\in {\mathbb{F}}_3[x]$$
を ${\mathbb{F}}_3[x]$ でモニックな既約多項式の積に分解したとき、現れる相異なるモニック既約多項式の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とし、${\mathbb{F}}_{2^{12}}$ を位数 $2^{12}$ の有限体とする（${\mathbb{F}}_2$ はその素体として含まれる）。元 $\beta \in {\mathbb{F}}_{2^{12}}$ のうち、$\beta$ を ${\mathbb{F}}_2$ に添加した体 ${\mathbb{F}}_2(\beta )$ が ${\mathbb{F}}_{2^{12}}$ 全体と一致するものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_7$ を位数 $7$ の有限体とし、${\mathbb{F}}_{49}$ を位数 $49$ の有限体とする（${\mathbb{F}}_7$ はその素体として含まれる）。

${\mathbb{F}}_7[x]$ の $4$ 次のモニックな既約多項式の個数を $A$、${\mathbb{F}}_{49}[x]$ の $2$ 次のモニックな既約多項式の個数を $B$ とする。組 $(A,B)$ を求めよ。

$p$ を素数、$n$ を正の整数とし、$q=p^n$ とする。${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とし、${\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ をその素体とする。

$p$ が $n$ を割り切らないとき、${\mathbb{F}}_p$ の $0$ でない任意の元 $a$ について、多項式 $x^p-x-a$ は ${\mathbb{F}}_q$ に根をもたないことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい: ${\mathbb{F}}_q$ は素体 ${\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を部分体として含む。すべての $b\in {\mathbb{F}}_q$ について $b^q=b$ である。すべての $c\in {\mathbb{F}}_p$ について $c^p=c$ である。${\mathbb{F}}_q$ の元 $x,y$ について $(x+y{)}^p=x^p+y^p$ である。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3[x]$ のモニックな $6$ 次既約多項式のうち、定数項が $1$ であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とし、$K$ を元の個数が $2^{12}$ の有限体とする。$K$ の元 $\alpha$ のうち、${\mathbb{F}}_2$ 上の最小多項式の次数がちょうど $12$ であるもの（すなわち ${\mathbb{F}}_2(\alpha )=K$ となるもの）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2[x]$ の $6$ 次のモニックな既約多項式の個数を $A$ とする。また、$6$ 次のモニックな既約多項式 $f(x)\in {\mathbb{F}}_2[x]$ のうち、$f$ の根（${\mathbb{F}}_2$ の代数閉包の中でとる）の乗法群における位数が $2^6-1=63$ であるもの（原始多項式）の個数を $B$ とする。組 $(A,B)$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_4$ を位数 $4$ の有限体とし、${\mathbb{F}}_2\subseteq {\mathbb{F}}_4$ をその素体とする。${\mathbb{F}}_4[x]$ のモニックな $3$ 次既約多項式のうち、係数がすべて ${\mathbb{F}}_2$ に属するわけではないもの（すなわち ${\mathbb{F}}_2[x]$ に属さないもの）の個数を求めよ。

$q$ を素数べき、$\ell$ を素数とし、${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_q[x]$ の次数 ${\ell }^2$ のモニックな既約多項式の個数を $N$ とする。

このとき
$$N=\frac{q^{{\ell }^2}-q^{\ell }}{{\ell }^2}$$
であることを証明せよ。

ただし、${\mathbb{F}}_q$ の代数閉包 $\Omega$ を 1 つ固定し、正の整数 $n$ に対して $E_n:=\{\alpha \in \Omega \mid {\alpha }^{q^n}=\alpha \}$ とおくとき、$E_n$ は ${\mathbb{F}}_q$ を含む $\Omega$ の部分体で、ちょうど $q^n$ 個の元からなり、$[E_n:{\mathbb{F}}_q]=n$ であることは用いてよい。また、拡大次数の連鎖律、および元の個数が $Q$ の有限体の任意の元 $\beta$ が ${\beta }^Q=\beta$ をみたすことも用いてよい。

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の $8$ 次のモニック既約多項式（最高次の係数が $1$ である既約多項式）$f(x)$ のうち、原始多項式でないものの個数を求めよ。ただし、${\mathbb{F}}_2$ 上の $8$ 次既約多項式 $f(x)$ が原始多項式であるとは、$f(x)$ の根（元の個数が $2^8=256$ の有限体 ${\mathbb{F}}_{256}$ の中の根）が乗法群 ${\mathbb{F}}_{256}^{\times }$ の生成元であることをいう。

$\alpha =\sqrt[3]{2}$ を実数の立方根とし、$K=\mathbb{Q}(\alpha )$、${\mathcal{O}}_K$ を $K$ の整数環とする。次の事実は証明なしに用いてよい。

• ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\alpha ]$ である。
• $\epsilon =1+\alpha +{\alpha }^2$ は $K$ の基本単数であり、${\mathcal{O}}_K^{\times }=\{\pm 1\}\times ⟨\epsilon ⟩$ である。

環 $R=\mathbb{Z}+35{\mathcal{O}}_K$（${\mathcal{O}}_K$ の導手 $35$ の整環）の単数群を $R^{\times }$ とする。指数 $[{\mathcal{O}}_K^{\times }:R^{\times }]$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を元の個数が $3$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3$ 上の $4$ 次のモニック既約多項式 $f(x)$（最高次の係数が $1$ である既約多項式）のうち、次の条件を満たすものの個数を求めよ。

条件: $f(x)$ の根 $\alpha$（元の個数が $81$ の有限体 ${\mathbb{F}}_{81}$ の元）の乗法群 ${\mathbb{F}}_{81}^{\times }$ における位数が $80$ ではない。

整数係数の多項式環 $\mathbb{Z}[x]$ のイデアル $I=(30,x^3-x-1)$ による剰余環 $R=\mathbb{Z}[x]/I$ を考える。$R$ の極大イデアルの個数を $m$、$R$ の単元（乗法の逆元をもつ元）の個数を $u$ とする。組 $(m,u)$ をこの順に求めよ。