体論・ガロア理論の問題

${\mathbb{F}}_4[x]$ のモニック $3$ 次既約多項式の個数. ${\mathbb{F}}_4$ の $3$ 次拡大は ${\mathbb{F}}_{64}$ で、${\mathbb{F}}_4[x]$ のモニック $3$ 次既約多項式は、${\mathbb{F}}_4$ 上の次数がちょうど $3$ である ${\mathbb{F}}_{64}$ の元の共役類（$3$ 個ずつ）と一対一に対応する。${\mathbb{F}}_4\subseteq M\subseteq {\mathbb{F}}_{64}$ を満たす体 $M$ は $[M:{\mathbb{F}}_4]\mid 3$ より ${\mathbb{F}}_4$ と ${\mathbb{F}}_{64}$ だけなので、${\mathbb{F}}_4$ 上の次数が $3$ の元は
$$|{\mathbb{F}}_{64}|-|{\mathbb{F}}_4|=64-4=60$$
個。各既約多項式は相異なる $3$ 個の根をもつ（有限体は完全体なので既約多項式は分離的）から、個数は
$$N_4(3)=\frac{60}{3}=20.$$

係数が ${\mathbb{F}}_2$ に属するものの個数. $f\in {\mathbb{F}}_2[x]$ がモニック $3$ 次で ${\mathbb{F}}_4[x]$ において既約なら、${\mathbb{F}}_2[x]$ でも既約である（${\mathbb{F}}_2[x]$ での分解はそのまま ${\mathbb{F}}_4[x]$ での分解になるから）。

逆に $f\in {\mathbb{F}}_2[x]$ がモニック $3$ 次既約なら、その根 $\alpha$ は ${\mathbb{F}}_8$ に属し $\alpha \notin {\mathbb{F}}_2$。${\mathbb{F}}_8\cap {\mathbb{F}}_4={\mathbb{F}}_2$（次数 $3$ と $2$ が互いに素）なので $\alpha \notin {\mathbb{F}}_4$ であり、$3$ 次式 $f$ は ${\mathbb{F}}_4$ に根をもたないから ${\mathbb{F}}_4[x]$ でも既約である。

したがって数えるべきは ${\mathbb{F}}_2[x]$ のモニック $3$ 次既約多項式の個数で、${\mathbb{F}}_8\setminus {\mathbb{F}}_2$ の $8-2=6$ 個の元を $3$ 個ずつまとめて
$$N_2(3)=\frac{6}{3}=2$$
個（具体的には $x^3+x+1$ と $x^3+x^2+1$）。

結論. 求める個数は
$$N_4(3)-N_2(3)=20-2=18.$$

有限体 ${\mathbb{F}}_q$ 上のモニックな $n$ 次既約多項式の個数は $\frac{1}{n}{\sum }_{d\mid n}\mu (d)q^{n/d}$。

${\mathbb{F}}_4$ ($q=4$)、$n=3$: $\frac{1}{3}(4^3-4)=\frac{60}{3}=20$ 個。

${\mathbb{F}}_2[x]$ に属するモニック3次既約多項式（${\mathbb{F}}_2$ 上の既約）: $\frac{1}{3}(2^3-2)=2$ 個（$x^3+x+1,x^3+x^2+1$）。これらは ${\mathbb{F}}_4$ 上でも既約である。理由: 根は ${\mathbb{F}}_8$ の元で、${\mathbb{F}}_8\cap {\mathbb{F}}_4={\mathbb{F}}_2$ より ${\mathbb{F}}_4$ 上の次数は $[{\mathbb{F}}_4(\theta ):{\mathbb{F}}_4]=[{\mathbb{F}}_{64}:{\mathbb{F}}_4]=3$。

逆に、${\mathbb{F}}_2[x]$ に属する ${\mathbb{F}}_4$ 上既約なモニック3次多項式は、${\mathbb{F}}_2$ 上でも既約（${\mathbb{F}}_2$ 上で可約なら ${\mathbb{F}}_4$ 上でも可約）なので、ちょうどこの2個。

よって求める個数は $20-2=18$。

検算: 3次多項式は既約 ⇔ 根をもたない。${\mathbb{F}}_4$ 上の元 $\theta \in {\mathbb{F}}_{64}\setminus {\mathbb{F}}_4$ は $64-4=60$ 個、各既約多項式に根が3個なので $60/3=20$。そのうち ${\mathbb{F}}_8\setminus {\mathbb{F}}_2$ の6個の元が2個の多項式をなす。$(60-6)/3=18$ で一致。