合成体の拡大次数と体の交わり

2 つのガロア拡大 $K_{1}, K_{2}$ の合成体について $[K_{1} K_{2} : Q] = \frac{[ K _{1} : Q ] [ K _{2} : Q ]}{[ K _{1} \cap K _{2} : Q ]}$ を使い、共通に含まれる 2 次体（例: $Q (- 3)$ ）を見つけて、 $(x^{3} - 2) (x^{4} - 3)$ のような積の多項式の最小分解体のガロア群の位数を求められる

前提

最小分解体とガロア群の位数（大学数学代数学）

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算数中学高校大学大学院

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最小分解体とガロア群の位数（大学数学代数学）

説明

2 つの多項式の積 $f (x) g (x)$ の最小分解体は、 $f$ の分解体 $K_{1}$ と $g$ の分解体 $K_{2}$ をあわせた体になります。この体の次数は、単純に $[K_{1} : Q] [K_{2} : Q]$ になるとは限りません。 $K_{1}$ と $K_{2}$ に共通する部分 $K_{1} \cap K_{2}$ の次数で割る必要があります。この技能を使うと、 $(x^{3} - 2) (x^{4} - 3)$ のような積の多項式について、ガロア群の位数を各因子の情報から求められます。

なぜそうしてよいのか

$K_{1}, K_{2}$ を両方含む最小の体を合成体といい、 $K_{1} K_{2}$ と書きます。 $K_{1} = Q (α_{1}, \dots, α_{r})$ なら $K_{1} K_{2} = K_{2} (α_{1}, \dots, α_{r})$ です。 $f$ の根全体と $g$ の根全体を $Q$ に添加した体が $f g$ の最小分解体なので、それは $K_{1} K_{2}$ に一致します。

$F = K_{1} \cap K_{2}$ とおきます。 $K_{1}$ は $f$ の最小分解体なので、 $K_{1} K_{2}$ は $K_{2}$ に $f$ の根をすべて添加した体、つまり $K_{2}$ 上の $f$ の最小分解体です。したがって $K_{1} K_{2} / K_{2}$ はガロア拡大であり、 $∣ Gal (K_{1} K_{2} / K_{2}) ∣ = [K_{1} K_{2} : K_{2}]$ が成り立ちます。

$σ \in Gal (K_{1} K_{2} / K_{2})$ は $f$ の根を $f$ の根に移すので、 $K_{1}$ を $K_{1}$ に移します。そこで $σ$ を $K_{1}$ 上に制限した写像 $σ ∣_{K_{1}}$ を考えます。
- $σ$ は $f$ の根での値で決まるので、 $σ \mapsto σ ∣_{K_{1}}$ は単射です。
- その像を $H$ とすると $∣ H ∣ = [K_{1} K_{2} : K_{2}]$ です。
- $K_{1}$ の元で $H$ のすべての元に固定されるものは、 $Gal (K_{1} K_{2} / K_{2})$ 全体で固定されます。ガロア拡大では、全体の群で固定される元は底の体 $K_{2}$ に入るので、そのような元は $K_{1} \cap K_{2} = F$ に入ります。逆に $F \subset K_{2}$ の元は固定されるので、 $H$ の固定体はちょうど $F$ です。
- ガロア理論の基本定理（有限群 $H$ の固定体を $M$ とすると $[K_{1} : M] = ∣ H ∣$ ）から、 $[K_{1} K_{2} : K_{2}] = ∣ H ∣ = [K_{1} : F]$ です。

あとは次数の積の公式を使います。
$[K_{1} K_{2} : Q] = [K_{1} K_{2} : K_{2}] [K_{2} : Q] = [K_{1} : F] [K_{2} : Q] = \frac{[ K _{1} : Q ] [ K _{2} : Q ]}{[ F : Q ]}$
直観的には、共通部分 $F$ の分を二重に数えないように割っている、と考えられます。

手順

各因子の最小分解体 $K_{1}, K_{2}$ と、その次数 $[K_{1} : Q], [K_{2} : Q]$ を求める。積の最小分解体は $L = K_{1} K_{2}$ である。
$K_{1}, K_{2}$ がガロア拡大であることを確認する。最小分解体であればガロア拡大である。
$F = K_{1} \cap K_{2}$ は $K_{1}$ と $K_{2}$ の両方の部分体である。次数の積の公式から、 $[F : Q]$ は $[K_{1} : Q]$ と $[K_{2} : Q]$ の公約数になるので、とりうる値を絞る。
$K_{1}$ と $K_{2}$ の両方に入る元（ $- 3$ などの 2 次の無理数）を探して、 $F$ の次数を確定させる。
公式 $∣ Gal (L / Q) ∣ = [L : Q] = \frac{[ K _{1} : Q ] [ K _{2} : Q ]}{[ F : Q ]}$ に代入する。

例題

$f (x) = (x^{3} - 2) (x^{4} - 3)$ の $Q$ 上の最小分解体を $L$ とする。ガロア群 $Gal (L / Q)$ の位数を求めよ。

例題の解答

手順 1: $x^{3} - 2$ の最小分解体は $K_{1} = Q (32, ω)$ で、 $[K_{1} : Q] = 6$ である（ $ω = \frac{- 1 + - 3}{2}$ ）。 $x^{4} - 3$ の最小分解体は $K_{2} = Q (43, i)$ で、 $[K_{2} : Q] = 8$ である。 $f$ の根全体を添加した体なので $L = K_{1} K_{2}$ となる。

手順 2: $K_{1}, K_{2}$ はどちらも最小分解体なので、 $Q$ 上のガロア拡大である。

手順 3: $F = K_{1} \cap K_{2}$ とおく。 $[F : Q]$ は $6$ と $8$ の公約数なので、 $1$ か $2$ である。

手順 4: $- 3 = 2 ω + 1 \in K_{1}$ である。一方、 $(43)^{2} = 3$ なので $i 3 \in K_{2}$ であり、 $(i 3)^{2} = - 3$ だから $i 3$ は $- 3$ の平方根である。よって $- 3 \in K_{2}$ でもあり、 $Q (- 3) \subset F$ となる。 $[Q (- 3) : Q] = 2$ なので $[F : Q] \geq 2$ である。手順 3 と合わせて $[F : Q] = 2$ 、すなわち $F = Q (- 3)$ である。

手順 5: 公式に代入する。
$∣ Gal (L / Q) ∣ = [L : Q] = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$

答え: $24$

よくある誤り

共通部分を無視して $[K_{1} K_{2} : Q] = [K_{1} : Q] [K_{2} : Q] = 6 \cdot 8 = 48$ としてしまう誤り。正しくは $K_{1} \cap K_{2} = Q (- 3)$ で割って $\frac{48}{2} = 24$ である。
生成元の見た目が違うので共通部分は $Q$ だ、と決めつけてしまう誤り。たとえば「 $ω$ と $i$ は違うから $Q (32, ω) \cap Q (43, i) = Q$ 」とするのは誤りである。正しくは $- 3 = 2 ω + 1 = i (43)^{2}$ が両方に入っている。
ガロア拡大でない体にも公式を使ってしまう誤り。 $Q (32)$ と $Q (ω 32)$ は交わりが $Q$ だが、どちらもガロア拡大ではない。そのため $\frac{3 \cdot 3}{1} = 9$ とはならない。正しくは、合成体が $ω = \frac{ω 3 2}{3 2}$ を含むので $Q (32, ω)$ となり、次数は $6$ である（公式は少なくとも一方がガロア拡大のときに使う）。
交わりの次数として、両方の次数の公約数でない値を選んでしまう誤り。たとえば $[K_{1} : Q] = 6, [K_{2} : Q] = 8$ で $[K_{1} \cap K_{2} : Q] = 3$ とするのは誤りである。正しくは $[K_{1} : Q] = [K_{1} : F] [F : Q]$ より、 $[F : Q]$ は $g cd (6, 8) = 2$ の約数でなければならない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

$x^{n} - a$ の分解体とガロア群（大学院数学体論・ガロア理論）
体のテンソル積の素イデアル（大学院数学可換環論・ホモロジー代数）